Автор: Лихачева Анна Анатольевна
Должность: преподаватель
Учебное заведение: ГАПОУ СО УРТК им. А.С. Попова
Населённый пункт: Полевской
Наименование материала: учебно-методическая разработка
Тема: Разноуровневые дидактические материалы по учебной дисциплине "Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия"
Раздел: среднее профессиональное
Государственное автономное профессиональное образовательное
учреждение Свердловской области
«Уральский радиотехнический колледж им. А.С. Попова»
Полевской филиал
Разноуровневые дидактические материалы
по учебной дисциплине
«Математика: алгебра и начала
математического анализа; геометрия»
для студентов 1 курса
Преподаватель А.А. Лихачева
2017 г.
Составлено
в
соответствии
с
примерной
программой
общеобразовательной
учебной
дисциплины
«Математика:
алгебра
и
начала
м ат е м ат и ч е с ко го
а н а л и з а ;
г е о м е т р и я » ,
рекомендованной
ФГАУ
«ФИРО»
в
качестве
примерной
программы
для
реализации
ОПОП
СПО
на
базе
основного
общего
образования
с
получением среднего общего образования, 2015 г.
2
Оглавление
1
Введение……………………………………………………………………
4
2
Содержание учебной дисциплины ………………………………………
3
3
Тема 1. Степенная функция. Иррациональные уравнения…………….
12
4
Тема 2. Показательные уравнения. Показательные неравенства……..
14
5
Тема 3. Понятие логарифма. Свойства логарифмов.
Логарифмические уравнения……………………………………………..
17
6
Контрольная работа по темам «Степенные, показательные и
логарифмические уравнения и неравенства»………………………..
20
7
Тема 4. Тригонометрическая функция………………………………….
23
8
Тема 5. Решение тригонометрических уравнений………………………
26
9
Контрольная работа по разделу «Основы тригонометрии»……………
29
10
Тема 6. «Производная функции»………………………………………..
31
11
Контрольная работа по теме «»Производная»………………………….
34
12
Тема 7. «Первообразная и интеграл»…………………………………....
36
13
Тема 8. «Многогранники»………………………………………………..
38
3
Введение
Содержание
учебной
дисциплины
«Математика:
алгебра
и
начала
математического
анализа;
геометрия»
разработано
в
соответствии
с
основными
содержательными линиями обучения математике:
•
алгебраическая линия, включающая систематизацию сведений о
числах; изучение новых и обобщение ранее изученных операций (возведение в
степень,
извлечение
корня,
логарифмирование,
синус,
косинус,
тангенс,
котангенс и обратные к ним); изучение новых видов числовых выражений и
формул;
совершенствование
практических
навыков
и
вычислительной
культуры,
расширение
и
совершенствование
алгебраического
аппарата,
сформированного
в
основной
школе,
и
его
применение
к
решению
математических и прикладных задач;
•
теоретико-функциональная линия, включающая систематизацию и
расширение сведений о функциях, совершенствование графических умений;
знакомство с основными идеями и методами математического анализа в объеме,
позволяющем
исследовать
элементарные
функции
и
решать
простейшие
геометрические, физические и другие прикладные задачи;
•
линия
уравнений
и
неравенств,
основанная
на
построении
и
исследовании математических моделей, пересекающаяся с алгебраической и
теоретико-функциональной
линиями
и
включающая
развитие
и
совершенствование техники алгебраических
преобразований
для
решения
уравнений,
неравенств
и
систем;
формирование способности строить и исследовать простейшие математические
модели при решении прикладных задач, задач из смежных и специальных
дисциплин;
•
геометрическая линия, включающая наглядные представления о
пространственных фигурах и изучение их свойств, формирование и развитие
пространственного
воображения,
развитие
способов
геометрических
4
измерений, координатного и векторного методов для решения математических и
прикладных задач;
•
стохастическая
линия,
основанная
на
развитии
комбинаторных
умений,
представлений
о
вероятностно-статистических
закономерностях
окружающего мира.
Предлагаемый набор разноуровневых заданий охватывает большую часть
ключевых тем математики на 1 курсе.
Задания сгруппированы по темам, предполагают использование, в первую
очередь, тестового контроля на этапе первичного контроля знаний и умений,
проверочной
работы
на
стадии
промежуточного
контроля
приобретенных
умений и контрольной работы в заключение.
Предполагается дополнение сборника заданий по недостающим темам
курса математики.
5
Содержание учебной дисциплины
« Математика: алгебра и начала математического анализа;
геометрия»
Введение
Математика в науке, технике, экономике, информационных технологиях и
практической деятельности. Цели и задачи изучения математики при освоении
профессий СПО и специальностей СПО.
АЛГЕБРА
Развитие понятия о числе
Целые
и
рациональные
числа.
Действительные
числа.
Приближенные
вычисления.
Комплексные числа.
Корни, степени и логарифмы
Корни и степени. Корни натуральной степени из числа и их свойства.
Степени
с
рациональными
показателями,
их
свойства.
Степени
с
действительными
показателями.
Свойства
степени
с
действительным
показателем.
Логарифм.
Логарифм
числа.
Основное
логарифмическое
тождество.
Десятичные
и
натуральные
логарифмы.
Правила
действий
с
логарифмами.
Переход к новому основанию.
Преобразование
алгебраических
выражений.
Преобразование
рациональных, иррациональных степенных, показательных и логарифмических
выражений.
ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ
Основные понятия
Радианная мера угла. Вращательное движение. Синус, косинус, тангенс и
котангенс числа.
Основные тригонометрические тождества
Формулы приведения. Формулы сложения. Формулы удвоения Формулы
половинного угла.
6
Преобразования простейших тригонометрических выражений
Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и
произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс
половинного аргумента.
Тригонометрические уравнения и неравенства
Про стейшие
т ригономет риче ские
уравнения.
П р о с т е й ш и е
тригонометрические неравенства.
Обратные
тригонометрические
функции.
Арксинус,
арккосинус,
арктангенс.
Функции, их свойства и графики
Функции. Область определения и множество значений; график функции,
построение графиков функций, заданных различными способами.
Свойства функции. Монотонность, четность, нечетность, ограниченность,
периодичность.
Промежутки
возрастания
и
убывания,
наибольшее
и
наименьшее
значения,
точки
экстремума.
Графическая
интерпретация.
Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях.
Арифметические операции над функциями.
Сложная функция (композиция). Понятие о непрерывности функции.
Обратные функции. Область определения и область значений обратной
функции.
График обратной функции.
Степенные,
показательные,
логарифмические
и
тригонометрические
функции.
Обратные тригонометрические функции
Определения функций, их свойства и графики.
Преобразования
графиков.
Параллельный
перенос,
симметрия
относительно осей координат и симметрия относительно начала координат,
симметрия
относительно
прямой
y
=
x,
растяжение
и
сжатие
вдоль
осей
координат.
7
НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Последовательности.
Способы
задания
и
свойства
числовых
последовательностей.
Понятие
о
пределе
последовательности.
Существование
предела
монотонной
ограниченной
по следовательно сти.
Сум м и р о ва н и е
последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее
сумма.
Производная.
Понятие
о
производной
функции,
ее
геометрический
и
физический смысл. Уравнение касательной к графику функции. Производные
суммы,
разности,
произведения,
частные.
Производные
основных
элементарных функций. Применение производной к исследованию функций и
построению графиков. Производные обратной функции и композиции функции.
Примеры
использования
производной
для
нахождения
наилучшего
решения
в
прикладных
задачах.
Вторая
производная,
ее
геометрический
и
физический смысл.
Нахождение скорости для процесса, заданного формулой и графиком.
Первообразная
и
интеграл.
Применение
определенного
интеграла
для
нахождения площади криволинейной трапеции. Формула Ньютона—Лейбница.
Примеры применения интеграла в физике и геометрии.
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Уравнения
и
системы
уравнений.
Рациональные,
иррациональные,
показательные и тригонометрические уравнения и системы.
Равносильность уравнений, неравенств, систем.
Основные
приемы
их
решения
(разложение
на
множители,
введение
новых неизвестных, подстановка, графический метод).
Неравенства.
Рациональные,
иррациональные,
показательные
и
тригонометрические неравенства. Основные приемы их решения.
8
Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и
неравенств.
Метод
интервалов.
Изображение
на
координатной
плоскости
множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем.
Прикладные задачи
Применение математических методов для решения содержательных задач
из различных областей науки и практики.
Интерпретация результата, учет реальных ограничений.
КОМБИНАТОРИКА, СТАТИСТИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Элементы комбинаторики
Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений,
перестановок,
сочетаний.
Решение
задач
на
перебор
вариантов.
Формула
бинома Ньютона.
Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.
Элементы теории вероятностей
Событие,
вероятность
события,
сложение
и
умножение
вероятностей.
Понятие о независимости событий. Дискретная случайная величина, закон ее
распределения.
Числовые характеристики дискретной случайной величины. Понятие о
законе больших чисел.
Элементы математической статистики
Представление
данных
(таблицы,
диаграммы,
графики),
генеральная
совокупность, выборка, среднее арифметическое, медиана. Понятие о задачах
математической статистики.
Решение практических задач с применением вероятностных методов.
ГЕОМЕТРИЯ
Прямые и плоскости в пространстве
9
Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Параллельность
прямой и плоскости. Параллельность плоскостей. Перпендикулярность прямой
и плоскости.
Перпендикуляр
и
наклонная.
Угол
между
прямой
и
плоскостью.
Двугранный угол.
Угол между плоскостями. Перпендикулярность двух плоскостей.
Геометрические
преобразования
пространства:
параллельный
перенос,
симметрия относительно плоскости.
Параллельное
проектирование.
Площадь
ортогональной
проекции.
Изображение пространственных фигур.
Многогранники
Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы.
Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера.
Призма.
Прямая
и
наклонная
призма.
Правильная
призма .
Параллелепипед. Куб.
Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Тетраэдр.
Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде.
Сечения куба, призмы и пирамиды.
Представление о правильных многогранниках (тетраэдре, кубе, октаэдре,
додекаэдре и икосаэдре).
Тела и поверхности вращения
Цилиндр
и
конус.
Усеченный
конус.
Основание,
высота,
боковая
поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения, параллельные
основанию.
Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере.
Измерения в геометрии
Объем и его измерение. Интегральная формула объема.
Формулы
объема
куба,
прямоугольного
параллелепипеда,
призмы,
цилиндра.
10
Формулы объема пирамиды и конуса. Формулы площади поверхностей
цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы.
Подобие тел. Отношения площадей поверхностей и объемов подобных
тел.
Координаты и векторы
Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула
расстояния между двумя точками. Уравнения сферы, плоскости и прямой.
Векторы.
Модуль
вектора.
Равенство
векторов.
Сложение
векторов.
Умножение
вектора
на
число.
Разложение
вектора
по
направлениям.
Угол
между
двумя
векторами.
Проекция
вектора
на
ось.
Координаты
вектора.
Скалярное произведение векторов.
Использование координат и векторов при решении математических и
прикладных задач.
11
Тема 1. Степенная функция. Иррациональные уравнения
1. Тест
Вариант 1
№
Дана функция y =
2
1
х
. Постройте
график функции и назовите:
А
Б
В
Г
1
область определения функции
x
R
x > 0
x ≠ 0
x < 0
2
область значений функции
y
R
y > 0
y < 0
y ≠ 0
3
координаты точек пересечения графика
функции с «Ох»
нет
(0; 0)
(1; 0)
(0; 1)
4
координаты точек пересечения графика
функции с «Оy»
(0; 0)
нет
(1; 0)
(0; 1)
5
значение y при х = 1
- 1
0
1
1 и -1
6
значение х при y = 1
1 и -1
1
-1
0
7
промежутки возрастания функции
x < 0
x > 0
y < 0
y > 0
8
промежутки убывания функции
x < 0
y > 0
y < 0
x > 0
9
значения х при y > 0
x > 0
x > 0, x
< 0
x < 0
x
R
10
нули функции
(0; 0)
y = 0
x = 0
нет
Вариант 2
№
Дана функция y =
3
1
х
. Постройте
график функции и назовите:
А
Б
В
Г
1
область определения функции
x
R
x ≠ 0
x > 0
x < 0
2
область значений функции
y ≠ 0
y > 0
y < 0
y
R
3
координаты точек пересечения графика
функции с «Ох»
нет
y = 0
x = 0
(0; 0)
4
координаты точек пересечения графика
функции с «Оy»
x = 0
y = 0
(0; 0)
нет
5
значение y при х = 1
0
-1
1
3
6
значение х при y = 1
-1
1
0
3
7
промежутки возрастания функции
нет
x > 0, x
< 0
x > 0
x < 0
8
промежутки убывания функции
x > 0, x
< 0
x < 0
нет
x > 0
9
значения х, при y > 0
x
R
x > 0
x < 0
x = 0
10
нули функции
x = 0
нет
(0; 0)
y = 0
12
2. Проверочная работа
Вариант 1
1.
Постройте
график
степенной
функции
n
x
y
,
где n
–
целое
четное
положительное
число.
Опишите
известные
Вам
свойства
данной
функции.
2.
Решите иррациональное уравнение:
«3»
1
2
1
3
5
2
х
х
х
«4»
4
11
1
х
х
«5»
0
4
2
3
5
х
х
х
Вариант 2
1.
Постройте
график
степенной
функции
n
x
y
,
где n – целое нечетное
положительное
число.
Опишите
известные
Вам
свойства
данной
функции.
2.
Решите иррациональное уравнение:
«3»
х
х
х
4
2
3
2
«4»
4
7
17
х
х
«5»
2
4
5
2
3
х
х
х
Тема 2. Показательные уравнения. Показательные неравенства
13
1. Тест
Вариант 1
1. Из данных неравенств выберите верные:
а) 3
-2
> 3
-1
б)
3
1
3
1
<
4
1
3
1
в) 2
1,07
> 2
1,6
г) (0,4)
-2
< (0,4)
-3
2. Решите уравнение 5
х
= 125. Выберите правильный ответ.
а) 3 б) 4 в) 0
3. Определите промежуток, который является множеством решений неравенства
4
х
>
64
1
:
а) (- ∞; -3) б) (-3; + ∞) в) (- ∞; + ∞ )
4. Определите промежуток, который является множеством решений неравенства
х
4
1
<
16
1
:
а) (- ∞; 2) б) (2; + ∞) в) (- ∞; + ∞ )
5. Выберите уравнения, которые не имеют корней:
а) 3
х
= 2 б) 2
х
=
1 в)
5
х
=
5
Вариант 2
1. Из данных неравенств выберите верные:
а) 2
-1
> 2
-2
б)
2
1
4
1
<
3
1
4
1
в) 1,5
2,3
> 1,5
2,4
г) 0,1
2
< 0,1
4
2. Решите уравнение 2
х
= 32. Выберите правильный ответ.
а) 4 б) 5 в) 6
3. Определите промежуток, который является множеством решений неравенства
2
х
>
4
1
:
а) (2; + ∞) б) (-2; + ∞) в) (- ∞; -2 )
4. Определите промежуток, который является множеством решений неравенства
х
2
1
<
8
1
:
а) (3; + ∞) б) (- ∞; 3) в) (- ∞; -3 )
5. Выберите уравнения, которые не имеют корней:
14
а) 8
х
= 2 б) 2
х
= 0 в) 7
х
=
4
2. Проверочная работа
Вариант 1
1. Решите уравнение:
«5»
а)
2
3
64
125
25
16
х
б) 3 ∙ 7
х+1
+ 5 ∙7
х-1
= 152
в) 2 ∙ 4
2х
17 ∙ 4
х
+ 8 = 0
«4»
а)
1
3
1
х
= 9
б) 3
1+2х
+ 3
2х+3
= 10
в) 2 ∙ 9
х
3
х+1
9 = 0
«3»
а) 5
х
= 625
б) 2
х
+ 2
х+3
= 9
в) 3
2х
4 ∙ 3
х
+ 3 = 0
2. Решите неравенство:
«5»
а)
х
3
5
9
1
27
б)
х
х
4
2
2
< 1
«4»
а)
х
2
5
4
4
3
4
5
х
б) 32
2х +3
< 0,25
«3»
а) 3
х
< 27
б) 0,2
х
0,04
Вариант 2
1. Решите уравнение:
«5»
а)
2
3
2
5
,
4
9
2
х
х
б) 5 ∙ 2
2х+2
+ 3 ∙2
2х-1
= 86
в) 5
2х-3
2 ∙ 5
х-2
= 3
«4»
а) 8
-1
∙ 2
3х
= 8
б) 2 ∙ 5
х+2
– 10 ∙ 5
х
= 8
в) 9
х
+ 3 ∙ 3
х
18 = 0
«3»
а) 2
х
= 32
б) 3
х
+ 3
х+2
= 810
в) 2
2х
5 ∙ 2
х
24 = 0
2. Решите неравенство:
«5»
а)
х
2
27
1
> 9
2х-1
б)
х
х
3
2
6
,
0
1
«4»
а) 10
3х+1
> 0,001
«3»
а) 4
х
< 64
15
б) 16
5-3х
< 0,5
5х - 6
б)
х
3
2
>
9
4
Тема 3. Понятие логарифма. Свойства логарифмов.
Логарифмические уравнения.
1. Тест
Вариант 1
16
№ Вычислить:
А
Б
В
Г
1
log
36
6
2
2
2
1
2
1
2
log
5
125
3
5
5
1
3
3
log
2
3
9
2
4
9
6
4
16
log
4
4
2
1
16
4
5
2
log
3
9
8
4
2
9
6
log
7
91
log
7
13
1
0
10
3
7
log
6
2 + log
6
3
5
1
1
6
8
log
5
125
1,5
25
3
1
9
log
3
21 + log
3
2
log
3
14
9
11
1
2
10
2log
3
2
log
3
8 + log
3
9
2
6
9
2
1
6
2
Вариант 2
№ Вычислить:
А
Б
В
Г
1
log
2
4
1
2
2
2
1
2
1
2
log
3
81
3
4
4
1
3
3
log
2
3
1
0
8
3
1
1
4
1
log
5
5
2
1
16
4
5
2
log
4
16
8
4
2
9
6
log
2
24
log
2
3
9
8
11
3
7
log
5
1,25 + log
5
4
5
1
1
10
8
log
2
32
1,5
2,5
2
16
9
log
6
27
log
6
3 + log
6
4
2
1
3
0
10
log
3
4
4∙ log
3
2 + log
3
9
4
2
9
4
1
2
2
17
2. Проверочная работа
В
ариант 1
1. Вычислить
«3»
а) log
6
36
б) log
7
7
1
в) log
4
log
2
2
1
г) 7
5
log
7
д) log
32
4
е) log
3
8
2log
3
2 + log
3
2
9
«4»
а) log
36
6
б) log
3
2
8
в) log
3
16
log
3
81
г) 5
3
log
2
5
д) log
16
1
4
1
е) log
5
4
1
2log
5
3
2
+ log
5
9
4
«5»
а) log
4
3
9
1
б) log
81
log
27
9
16
в) 1000
2 lg 3
г) log
8
3
2
1
д) log
3
2
8
1
4
log
3
е) log
4
5
1
+ log
4
36 +
2
1
log
4
81
25
2. Сравните выражения
а) log
2
15 * log
2
20
б) log
2
0,5 * log
2
0,4
в) log
6
6
1
* log
8
6
1
а) log
0,3
1,7 * log
0,3
1,9
б) lg 0,7 * lg
11
8
в) log
3
8 * 0
а) lg
5
* lg 2,5
б) lg 0,7 * lg 0,7
2
в) 1
log
4
9 * 0
3. Решите графически уравнение
log
2
x = 3
x
log
3
x = 4
x
log
2
1
x = 2x
6
4. Решите уравнение
log
3
(2х
1) = 2
log
5
(x + 1) = log
5
(4x
5)
lg ( 3
x)
lg ( x + 2) =
= 2 lg2
Вариант 2
1.
Вычислить
«3»
а) log
5
25
б) log
2
4
1
«4»
а) log
49
7
б) log
3
5
125
в) log
9
log
4
(
3
4
)
«5»
а) log
3
4
32
1
18
в) log
9
log
3
3
1
г) 12
7
log
12
д) log
27
9
е) log
4
5 + log
4
25 + +log
4
125
2
г) 15
3
log
3
15
д) log
5
1
125
1
е) log
3
72
log
3
27
16
+ log
3
18
б) log
125
1
log
5
1
3
в) 100
lg 2
г) log
4
9
1
9
д) log
4
log
3
81
е) 2log
2
6 + log
2
9
35
log
2
35
2. Сравните выражения
а) log
2
18 * log
2
2
б) log
2
0,2 * log
2
1,4
в) log
3
6
1
* log
8
6
1
а) log
0,3
0,7 * log
0,3
0,19
б) lg 0,5 * lg
11
8
в) log
4
2 * 0
а) lg
5
* lg 2,1
б) lg 0,7
3
* lg 0,7
2
в) 1 + log
4
9 * 0
3. Решите графически уравнение
log
3
x = 5
2x
log
2
x = 6
2x
log
2
1
x = 3x
9
4. Решите уравнение
log
2
(х + 3) = 4
log
3
(3x
5) = log
3
(x
3)
log
2
( 4
x) + log
2
( 1-
2x)= 2 log
2
3
Контрольная работа
по темам «Степенные, показательные и логарифмические
уравнения и неравенства»
Вариант 1
19
1.
Решите иррациональное уравнение
«3»
а)
2
3
х
б)
1
3
2
4
х
х
«4»
а)
2
1
7
х
б)
2
7
2
х
х
«5»
а)
3
3
2
х
х
б)
5
1
2
1
1
3
х
х
Указание (б): ввести
новую переменную
2. Решите показательное уравнение
а) 2
х
2
= 1
б) 2
5х + 1
= 2
4х
в)
3
2
5
,
0
5
,
0
2
х
х
а) 8
1
∙ 2
3х
= 8
б) 5
х
+ 3 ∙ 5
х
2
= 140
в) 2
2х
5 ∙ 2
х
24 = 0
а)
2
3
2
5
,
4
9
2
х
х
б) 2
х
+ 2
х
1
+ 2
х
2
= 56
в) 5
2х
3
2 ∙ 5
х
2
= 3
3. Решите показательное неравенство
а) 5
х
1
< 25
б)
2
2
2
3
1
3
1
х
а)
27
9
1
х
б) (0,2)
2х
<
2
,
0
а) 0,9
х
1
81
19
б)
5
,
1
49
9
7
3
2
х
х
4. Решите логарифмическое уравнение
а) log
5
( x + 1) = log
5
( 4x
5)
б) log
3
( 2x
1) = 2
в) log
3
( x
2
3х
1) =
= log
3
9
а) log
2
( 5x + 3)
- log
2
( 3x
1) = 2
б) log
3
1
1
2
х
в) log
2
( 7x
4) = 2 +
+ log
2
13
а) lg
2
х + lg х
2
= 3
б) log
2
(x
2
+ 18)
- log
2
( x
1) = log
0,5
8
1
в) lg ( 2x + 1) =
= 0,5 lg ( 1
3x )
5. Решите логарифмическое неравенство
а) log
2
( x
3)
log
2
8
б) log
3
1
( х + 3 ) > 0
а) 2 log
2
( 3
2x) < 0
б) log
0,5
( 2x + 1) >
2
а) log
0,5
( 4x
3)
log
0,5
(x +3)
б) log
3
1
( 7
х) >
2
20
Вариант 2
1.
Решите иррациональное уравнение
«3»
а)
4
2
х
б)
3
1
2
2
х
х
«4»
а)
3
1
5
х
б)
х
х
2
5
2
«5»
а)
1
1
3
2
х
х
б)
2
2
3
2
4
х
х
Указание (б): ввести
новую переменную
2. Решите показательное уравнение
а) 2
х
= 32
б) 2
3
2х
= 2
2
х
в)
х
х
х
х
3
5
2
3
2
2
4
2
а) 9
1
∙ 3
3х
= 9
б) 7
х + 2
+ 3 ∙ 7
х
1
= 346
в) 4
х
3 ∙ 2
х
= 4
а)
1
4
2
25
,
0
х
х
б) 3
х+1
2∙ 3
х
1
4∙ 3
х
2
=
17
в) 8 ∙2
2х
+ 14 ∙2
х
4 = 0
3. Решите показательное неравенство
а) 3
3
х
9
б)
2
3
2
2
1
2
1
х
а)
32
4
1
х
б) (0,5)
3х
<
5
5
,
0
а) 0,7
х
< 2
49
2
б)
х
х
2
1
32
1
8
1
2
4. Решите логарифмическое уравнение
а) log
2
( 2x
3) =
= log
2
(3x
5)
б) log
2
( x
15) = 4
в) lg ( x
2
2х
4) = lg 11
а) log
2
( 2x
1) + log
2
( x
+5) = log
2
13
б) log
2
2
2
2
х
в) log
3
(4
2х)
log
3
2 = 2
а) lg
2
х
lg х
2
= 3
б) log
2
(х
3) +
+ log
2
( 13+x ) = =log
0,5
125
,
0
в) lg (x
1) = 0,5 lg (1+
+1,5x )
5. Решите логарифмическое неравенство
а) log
2
( 6 +x )
log
2
4
б) log
3
1
( х + 8 ) > 0
а) 2 log
3
( 3х
2) < 0
б) log
3
1
(2х
1)
2
а) log
0,2
( 3x
1) <
< log
0,2
( 2х + 3)
21
б) log
5
1
( 3
2х) >
1
Тема 4. Тригонометрическая функция
1.
Тест
Вариант 1
№
А
Б
В
Г
22
1
Углом какой четверти является угол
,
если
=
40
I
II
III
IV
2
Углом какой четверти является угол
,
если
= 620
I
II
III
IV
3
Определите знак выражения: cos 210
∙
sin 100
> 0
< 0
0
0
4
Вычислите: cos (
4
9
)
2
1
2
1
2
1
1
5
Вычислите: (2 sin 90
tg 45
) ∙ 3
270
6
0
3
6
Вычислите: 3 tg
6
4 sin
3
3
3
3
3
1
7
Вычислите: 2 cos 0
sin (
90
) + 3 tg
(
45
)
1
0
4
6
8
Известно, что cos
=
13
12
и
2
<
<
.
Найти sin
13
5
13
1
13
5
13
1
9
Упростите выражение:cos
2
+sin
∙ tg
∙ cos
sin
0
1
cos
10
Упростите выражение:
20
cos
40
sin
2 sin
20
sin 20
20
2
Вариант 2
№
А
Б
В
Г
1
Углом какой четверти является угол
,
если
=
30
I
II
III
IV
2
Углом какой четверти является угол
,
если
= 710
I
II
III
IV
3
Определите знак выражения: cos 160
∙
tg 200
> 0
< 0
0
0
4
Вычислите: sin (
2
9
)
1
1
2
1
2
1
5
Вычислите: 7 ∙ (ctg 30
2 sin 60
)
0
7
210
21
6
Вычислите: 2 cos
4
3 sin
2
2
1
0
7
Вычислите: 5 ctg 90
sin (
30
) + cos
(
60
)
6
1
1
0
8
Известно, что sin
=
0,8 и
<
<
2
3
. Найти cos
0,2
0,6
0,2
0,6
9
Упростите выражение:sin
∙ ctg
+ cos
2
2 cos
cos
2
1
23
10
Упростите выражение:
40
sin
80
sin
cos 40
2cos
40
2
20
2. Проверочная работа
Вариант 1
1. Упростите выражение, используя основные формулы тригонометрии
«3»
а) 1
sin
2
б) 3 cos
sin
ctg
«4»
а) tg
ctg
cos
2
б)
1
cos
sin
1
2
2
«5»
а) sin
2
sin
2
cos
2
б) 4
3 sin
2
3 cos
2
2.
Вычислите, используя формулы приведения
а) sin ( 180
+
)
cos
( 90
)
б) sin 210
в) cos
4
3
а)
)
180
cos(
)
cos(
)
360
sin(
б) ctg 135
в) tg
4
5
а)
)
2
cos(
)
(
)
2
sin(
tg
б) sin 150
+ 2 cos 180
в) 3sin
3
5
cos
2
6
5
3. Вычислите, используя формулы сложения или формулы двойного угла
а) cos 75
б) sin 58
cos 13
cos
58
sin 13
в) 2 sin 15
cos 15
а) sin 105
б) cos 16
cos 14
sin
16
sin 14
в) cos
2
15
sin
2
15
а) cos (
75
)
б)
)
6
sin(
)
6
7
cos(
)
6
cos(
)
6
7
sin(
в) 2 cos
4
2 sin
4
4.
Найдите cos
и tg
,
если
sin
= 0,6 и
- угол I
координатной четверти
Найдите cos
и tg
,
если
sin
=
13
5
и
- угол II
координатной четверти
Найдите sin 2
и cos 2
,
если
cos
=
13
5
и
- угол
II координатной
четверти
Вариант 2
1. Упростите выражение, используя основные формулы тригонометрии
«3»
а) tg
cos
+ sin
«4»
а) 1 + cos
2
sin
2
«5»
а) 5
sin
2
cos
2
24
б) ctg
∙ tg
+ 1
б) tg
2
∙ ctg
2
sin
2
б)
2
2
cos
sin
ctg
tg
ctg
tg
2. Вычислите, используя формулы приведения
а) sin ( 180
) + cos
( 90
+
)
б) sin 135
в) cos
3
2
а)
)
2
(
)
(
2
ctg
tg
б) tg 300
в) sin
6
5
а) sin
2
(
)
2
+ sin
2
(
)
б) 2 tg
4
3 sin
6
11
в) cos 225
3. Вычислите, используя формулы сложения или формулы двойного угла
а) sin 75
б) sin 63
cos 27
+ cos
63
sin 27
в) cos
2
15
sin
2
15
а) cos 105
б) cos 157
cos 67
sin
157
sin 67
в) 4 sin 15
cos 15
а) sin (
105
)
б)
)
3
sin(
)
3
2
sin(
)
3
cos(
)
3
2
cos(
в) cos
2
75
sin
2
75
4.
Найдите sin
и tg
,
если
cos
= 0,6 и
- угол I
координатной четверти
Найдите cos
и tg
,
если
sin
=
0,8 и
- угол
III координатной
четверти
Найдите sin 2
и cos 2
,
если
cos
=
17
8
и
- угол IV
координатной четверти
Тема 5. Решение тригонометрических уравнений
25
1. Тест
Вариант 1
№
А
Б
В
Г
1
Найти arccos
2
1
2
3
4
6
2
Найти arcsin
2
3
3
2
6
4
3
Найти arctg
3
4
6
3
2
4
Найти arcctg 1
4
6
3
2
5
Решить уравнение: sin x = 0
πn
2πn
2
n
0
6
cos x = −
2
3
±
6
+2πn
−
6
+2πn
±
6
5
+2πn
−
6
5
+2πn
7
sin 2x =
2
1
(-1)
n
n
2
12
(-1)
n
n
2
3
(-1)
n
n
2
12
(-1)
n
n
2
3
8
tg x = −
3
−
6
+ πn
3
+ πn
−
6
+ 2πn
−
3
+ πn
9
1 + 2 cos
3
x
= 0
±
3
+6πn
±2π +6πn
±
9
2
+
3
2
πn
±
2
+ 2πn
10
4 sin
2
x − 4 cosx − 1 = 0
±
6
+ πn
±
3
+ πn
±
3
+
2πn
±
6
+
2πn
Вариант 2
№
А
Б
В
Г
1
Найти arctg 1
4
2
3
6
2
Найти arcsin
2
1
4
2
6
3
3
Найти arccos
2
3
4
6
3
2
4
Найти arcctg 0
3
Не
существ.
2
6
5
Решить уравнение: cos x = 0
2
+ 2πn
±
3
+ πn
(-1)
n
n
2
3
2
+ πn
6
cos x = −
2
1
±
6
+ πn
±
3
+ πn
±
3
2
+
2πn
±
6
+
2πn
26
7
sin 2x =
2
3
±
6
+ 2πn
(-1)
n
n
2
3
(-1)
n
n
2
3
(-1)
n
n
2
6
8
tg x = −
3
1
−
6
+ πn
3
+ πn
−
6
+ 2πn
−
3
+ πn
9
1 −
2
cos
4
x
= 0
± π + 8πn
±
16
+
8πn
±
16
+
4πn
± π + 4πn
10
2cos
2
x + 5 sinx − 4 = 0
(-1)
n
n
2
12
(-1)
n
n
6
(-1)
n
n
2
3
(-1)
n
n
2
12
2 Проверочная работа
Вариант 1
Решите уравнение
«3»
а) 2 cos x +
2
= 0
б) sin x + cos x = 0
в) 2 sin
2
x + sin x − 1 = 0
«4»
а) 2 sin (
1
)
3
х
б) sin
2
x + sin x cos x = 0
в) 4 sin
2
x = 3
«5»
а) ( sin x + cos x )
2
=
= 1 + sin x cos x
б) cos 2x + 8 sin x = 3
в) cos (2π − x) + sin (
2
+ x) =
=
2
г) 2 sin
4
х
−
3
= 0
Вариант 2
Решите уравнение
«3»
а) 2 sin x +
3
= 0
б) sin x =
3
cos x
в) 2 cos
2
x − cos x − 1 =
= 0
«4»
а) 2 sin ( x −
2
)
4
б) cos
2
x − cos x sin x = 0
в) 4 cos
2
x − 3 = 0
«5»
а) ( sin x + cos x )
2
− 1 = 0
б) cos 2x + sin x = 0
в) sin ( π + x ) − cos (
2
− x ) =
=
3
г) 3tg 2x −
3
= 0
Вариант 3
Решите уравнение
«3»
«4»
«5»
27
а) 2 cos x −
3
= 0
б)
3
sin x + cos x = 0
в) 2 sin
2
x + 7sin x − 4 =
= 0
а) 2 sin ( x +
0
2
)
2
б) cos
2
x −
3
cos x sin x=
0
в) 2 sin
2
x − 1 = 0
а) ( sin x + 1)
2
= sin
2
x + 1
б) cos 2x = 1 + 4 cos x
в) cos (π + x)+cos(
2
− x )+
cosx= = 0
г)
3
tg 2x + 1 = 0
Вариант 4
Решите уравнение
«3»
а) 2 cos x +
3
= 0
б) sin x = cos x
в) 2 sin
2
x − 3sin x + 1 =
=0
«4»
а) 2 cos ( x +
2
)
4
б) sin
2
x +
3
sin x cos x=
=0
в) sin
2
x − 0,25 = 0
«5»
а) ( cos x − 1)
2
= cos
2
x − 1
б) cos 2x + cos x = 0
в) cos x + sin (
2
− x)+
+ cos (π+x)=0
г) 2 cos
2
х
+ 1 = 0
Контрольная работа по разделу «Основы тригонометрии»
Вариант 1
1.
28
«3»
Вычислите:
2
cos
0
sin
«4»
Вычислите:
tg π − sin
2
3
+ cos
2
+
+ sin π
«5»
Определите знак выражения:
269
cos
*
293
305
*
75
cos
2
ctg
tg
2. Упростите выражение
«3»
а)
)
180
cos(
)
cos(
)
360
sin(
«4»
а)
соs (
)
sin(
)
2
(
)
2
3
tg
«5»
а)
)
2
3
(
*
)
7
sin(
)
4
sin(
*
)
2
(
*
)
cos(
ctg
ctg
3.
«3»
Найдите sin x, если
cos x =
17
8
,
−
2
< x < 0.
«4»
Найдите
2
sin
, если
.
.
2
,
2
1
sin
ч
к
«5»
Найдите
)
60
cos(
, если
2
,
5
4
sin
4. Решите уравнение
«3»
а) 2 sin (
3
− x) = −1
«4»
а) 2 cos
2
x − 7 cos x = 0
«5»
а) 1 + 7 cos
2
x = 6 sin x cos x
5. Докажите тождество
«3»
а)
2
2
2
2
*
sin
sin
tg
tg
«4»
а)
tg
2
cos
1
2
sin
«5»
а)
2
sin
cos
1
sin
cos
1
ctg
Вариант 2
1.
«3»
Вычислите:
«4»
Вычислите:
«5»
Определите знак выражения:
29
− cos 0 − tg
4
sin
2
− cos
2
3
+ cos π-
− tg 0.
265
cos
*
95
215
*
235
sin
2
2
tg
ctg
2. Упростите выражение
«3»
а) sin ( 2π − α ) +
+cos ( − α )
«4»
а)
)
(
)
2
3
(
ctg
tg
+
+ cos ( −α )
«5»
а)
)
4
sin(
*
)
3
sin(
)
2
3
cos(
)
2
3
cos(
*
)
12
cos(
)
2
sin(
3.
«3»
Найдите cos x, если
sin x = −
17
15
,
π < x <
2
3
.
«4»
Найдите
2
cos
, если
.
.
4
,
2
1
sin
ч
к
«5»
Найдите
)
45
cos(
, если
2
,
3
1
cos
4. Решите уравнение
«3»
а) 2 cos (x +
2
) = −
3
«4»
а)
3
sin x cos x = sin
2
x
«5»
а) 2cos
2
x – 1,5 sin 2x +
+ sin
2
x=0
5. Докажите тождество
«3»
а)
2
2
2
sin
sin
2
sin
sin
2
ctg
«4»
а)
cos
1
cos
sin
tg
«5»
а)
)
4
(
2
cos
2
sin
1
tg
Тема 6. «Производная функции»
1. Тест
Вариант 1
№
пп
Задание
«Производная
функции …равна»
А
Б
В
Г
30
1
х
3
3х
3х
2
2х
3
3х
3
2
5х
5
0
х
x
х
ln
5
3
– х + 6
1
– х
–1
–6
4
х
х
2
1
2
1
– х
х
2
1
5
4
1
х
5
4
х
5
4
х
5
4
1
х
3
4
1
х
6
cos 4x
4cos x
4 sin x
– 4 sin x
– 4 sin 4x
7
x
2
1
6
2
1
·
x
2
1
6
· ln 6
2
1
·
x
2
1
6
·
ln x
x
2
1
6
· ln 6
2
1
·
x
6
· ln 6
8
(2x – 1)
5
2 (2x – 1)
4
5 (2x – 1)
4
10 (2x – 1)
4
10x
5
9
x
2
· ln x
2x ln x + x
x
2x ln x
x ln x + 2
10
x
e
х
x
e
1
0
x
xe
1
x
e
х
1
Вариант 2
№
пп
Задание
«Производная
функции …равна»
А
Б
В
Г
1
х
5
5х
4
5х
2
4х
5
5
2
–3х
– 3
0
х
3
3
2х + x
2
2
4x
2 + 2x
2 + x
4
3
x
2
3
3
x
3
2
3
1
x
2
3
3
1
x
3
2
3
x
5
3
2
х
4
4
х
2
6
х
4
6
1
х
4
6
х
6
sin
2
1
x
2cos x
2
1
cos
x
2
1
– 2 sin x
2
1
cos x
7
log
2
(7x)
2
ln
1
x
7
ln
1
x
2
ln
7
1
x
x
ln
7
1
8
(4x – 1)
3
3 (4x – 1)
2
12 x
2
12 (4x – 1)
2
3x
2
31
9
x
x
cos
sin
x
x
x
2
2
2
cos
sin
cos
x
x
sin
cos
x
x
sin
cos
x
2
cos
1
10
e
x
ln x
e
x
ln x +
x
e
x
x
e
x
e
x
+ ln x
e
x
2. Проверочная работа
Вариант 1
1.
Найти производную функции
«3»
а) х
3
– 3х
2
+ 4х – 5
б) (х + 1) ·
х
в)
x
х
2
3
г) х
2
+ e
2x
д) (6х + 3)
5
«4»
а) (1 + 2х) ( 3 – 5х)
б) (х + 1) ·
1
х
в)
8
5
2
3
х
х
г)
2
1
2
1
х
д) e
0,25х +1
+ ln (1 – 4х)
«5»
а) log
3
(х – 1) · ln x
б) 4х + 10 -
х
х
х
4
5
2
3
2
в)
x
e
e
x
x
2
2
2
г) При
каком значении х
знач е ние
п р о и з в од н о й
функции f(x) = cos x · cos 2x
+ sin 2x · sin x равно 1?
Вариант 2
1.
Найти производную функции
«3»
а) 4х
2
– х
3
+ х – 1
б) (2х – 5) ·
х
в)
x
х
3
2
г) cos 3x + e
x
д) (-2х + 1)
4
«4»
а) (х + 2) ( 3х – 5)
б) (4х + 1) ·
1
7
х
в)
4
2
3
х
х
г)
3
1
2
1
х
«5»
а) sin(х – 1) · ln 6x
б) 8х + 1 -
2
4
3
1
2
3
х
х
х
в)
x
x
x
5
5
5
2
2
г) При
каком значении х
32
д) 5
2х +1
+ log
2
(1 – 4х)
знач е ние
п р о и з в од н о й
функции f(x) = cos 2x · sin x
- cos x · sin 2x равно
2
1
?
Контрольная работа по теме «»Производная»
Вариант 1
1.
Найти производную функции
«3»
а)
4х
2
– 3х + 2
«4»
а) х
5
– х ( х
3
+ 7).
«5»
а)
2
1
x
33
б)
2
2
х
х
в) e
x
* x
2
г) cos 2x
б) х
2
lnх ,
в)
1
3
2
х
х
,
г) 1 + sin 3х
б)
2
1
х
+
х
,
в) (2 – e
x
)
3
г) sin 2x * cos5x
2.
Напишите уравнение касательной к графику функции
«3»
y =
2
2
1
5
х
в точке х
0
= 3
«4»
y = e
2х
в точке х
0
= 0
«5»
y = 2 –
2
)
1
(
2
x
– x
2
в точке
х
0
= 1
3.
Исследуйте функцию на монотонность, укажите точки экстремума.
«3»
f(x) = х
2
− 6х + 5
«4»
y= х
3
+3х+1
«5»
y = x
3
− 6x
2
+ x
4.
Построить график функции
«3»
y = x
3
− 3x
«4»
y = х
3
+ 6х
2
+ 9х +8.
«5»
y =
2
x
x
Вариант 2
1.
Найти производную функции
«3»
а)
5x + 2x
3
+ 1
б)
x
x
7
в) cos x *sin x
г) e
3x
«4»
а)
3
1
х
+
3
х
,
б) х
3
cosх ,
в)
1
2
3
х
х
,
г) ln (2x+3) − 7
«5»
а)
cos
2
x
б)
x
x
2
sin
1
sin
в)
2
5
x
x
г) 3x –
x
5
+
3
2
x
2.
Напишите уравнение касательной к графику функции
«3»
y = 2 − x
2
в точке х
0
= − 3.
«4»
y = cos 5x в точке х
0
= 0
«5»
y = 1 –
2
)
2
3
(
2
x
– x в точке
х
0
= 1
34
3.
Исследуйте функцию на монотонность, укажите точки экстремума.
«3»
f(x) = 2х
2
− 4х + 5
«4»
y = х
3
+ 12х
«5»
y = x
3
+ 3x
2
4.
Построить график функции
«3»
y = 12x − x
3
«4»
y = 2х
3
−3х
2
− 12х − 1
«5»
y =
2
x
x
Тема 7. «Первообразная и интеграл»
1. Тест
Вариант 1
№
пп
задание
А
Б
В
Г
1
Первообразной для функции
y = 6x
6
является функция
6х
5
7
7
6
х
36х
5
х
7
2
Функция F(x)
= x + 3x
2
является
f(x)=
f(x)= 6x
35
первообразной для функции
1+6x
f(x)= x
+ 3x
2
f(x)= x
2
+ x
3
3
2
1
2
dx
х
равен
3
7
3
1
3
3
5
4
2
0
sin
2
xdx
равен
2
4
5
-2
5
2
2
5
2x
dx
равен
2
-2
4
8
6
dx
x
12
0
2
cos
1
равен
2
1
12
0
2
1
4
1
12
7
1
0
(
7
3
2
1
х
)dx равен
7
3
5
ln
2
1
7
3
5
ln
7
2
ln
2
1
ln 2
Вариант 2
№
пп
задание
А
Б
В
Г
1
Первообразной для функции
y = 5x
4
является функция
4х
5
3
3
5
х
20х
3
х
5
2
Функция F(x) = 2x + x
3
является
первообразной для функции
f(x)=
2+x
3
f(x)= 2x
4
f(x)= 2
+ 3x
2
f(x)=x
3
+
4
1
x
4
3
2
1
3
dx
х
равен
4
3
3
4
3
3
-9
8
4
2
0
cos
xdx
равен
1
2
-2
-1
5
27
8
3
2
x
dx
равен
3
15
63
8
6
xdx
2
sin
2
1
2
0
равен
4
1
1
-1
4
1
7
1
0
(
х
3
5
1
3
)dx равен
5
,
2
ln
3
1
3
5
,
2
ln
3
1
3
3
ln
3
1
3
3
ln
3
1
3
36
Тема 8. «Многогранники»
Проверочная работа
Вариант 1
«3»
1. Основанием прямой
призмы служит ромб со
стороной 2 и острым
«4»
1. Основанием прямой
призмы служит
равнобедренный
«5»
1. В правильной
треугольной призме
сторона основания
37
углом 30°. Найти объем
призмы, если ее высота
равна 3.
2. Основанием
четырехугольной
пирамиды служит ромб
со стороной 3 и острым
углом 45°. Найти объем
пирамиды, если ее
высота равна
2
.
треугольник, основание
которого равно 6, а
боковая сторона равна 5.
Найти объем призмы,
если ее высота равна
высоте треугольника,
опущенной на его
основание.
2. Площадь полной
поверхности цилиндра
равна 172
. Найти
площадь осевого
сечения цилиндра, если
диаметр его основания
равен 8.
равна 1, а площадь
боковой поверхности
равна 3
15
. Найти
длину диагонали
боковой грани призмы.
Вариант 2
«3»
1. Основанием прямой
призмы является
треугольник со
сторонами 5 и 4 и углом
30° между ними. Найти
объем призмы, если ее
высота равна 0,2.
2. В правильной
треугольной пирамиде
высота равна стороне
основания и равна
3
.
Найти объем пирамиды.
«4»
1. Найти полную
поверхность правильной
треугольной призмы ,
если сторона ее
основания равна
4
3
, а
боковое ребро равно
4
27
.
2. Найти площадь
полной поверхности
конуса, если площадь
основания конуса равна
144, а образующая равна
23
.
«5»
1. Основанием прямой
призмы является
равнобедренный
прямоугольный
треугольник с
гипотенузой
2
2
.
Найти объем призмы,
если боковое ребро
равно катету.
Вариант 3
«3»
1. Основание прямой
призмы –
прямоугольник со
сторонами 3 и 4. Найти
объем призмы, если ее
высота равна диагонали
прямоугольника.
«4»
1. Основанием прямой
призмы является
равносторонний
треугольник, площадь
которого равна
3
9
.
Найти площадь боковой
поверхности призмы,
«5»
1. Основанием
треугольной пирамиды
служит прямоугольный
треугольник с
гипотенузой 8 и острым
углом 45°. Найти объем
пирамиды, если ее
38
2. Объем конуса равен
162
. Найти диаметр
основания конуса, если
его высота равна 6.
если ее высота в 3 раза
больше стороны
основания.
2. Площадь основания
цилиндра равна 256, а
его высота равна
9
.
Найти полную
поверхность цилиндра.
высота равна 3.
Вариант 4
«3»
1. Основание прямой
призмы – квадрат со
стороной
2
. Найти
объем призмы, если ее
высота равна удвоенной
диагонали квадрата.
2. Площадь полной
поверхности цилиндра
равна 1596
. Найти
высоту цилиндра, если
диаметр его основания
равен 12.
«4»
1. Основанием прямой
призмы служит
равнобедренный
треугольник, основание
которого равно 8, а
боковая сторона равна 5.
Найти площадь боковой
поверхности призмы,
если ее высота равна
высоте треугольника,
проведенной к его
основанию.
2. Объем шара равен
135. Найти объем
другого шара, диаметр
которого в 3 раза
больше, чем у данного.
«5»
1. Основание прямой
призмы –
равносторонний
треугольник, площадь
которого равна
3
9
.
Найти объем призмы,
если ее высота в
3
раз
больше стороны
основания.
Вариант 5
«3»
1. Высота
прямоугольного
параллелепипеда равна
7, а стороны его
основания равны 4 и 5.
Найти площадь боковой
поверхности
параллелепипеда.
2. Найти диаметр шара,
«4»
1. В прямой треугольной
призме стороны
основания равны 25, 26
и 29, а боковая
поверхность равна 1620.
Найти высоту призмы.
2. Длина окружности
основания цилиндра
равна 56
. Найти
«5»
1. Объем шара равен 12.
Найти объем другого
шара, у которого
площадь поверхности в
9 раз больше, чем у
данного щара.
39
если площадь его
поверхности равна 289
.
объем цилиндра, если
его высота равна
7
.
Вариант 6
«3»
1. Основание прямой
призмы – треугольник
со сторонами 3, 4 и 6.
Найти площадь боковой
поверхности призмы,
если ее высота равна
0,5.
2. Найти высоту конуса,
если его объем равен 48
, а диаметр основания
равен
2
3
.
«4»
1. Основанием
треугольной пирамиды
является прямоугольный
треугольник с меньшим
катетом
3
и острым
углом 30°. Найти объем
пирамиды, если ее
высота равна гипотенузе
основания.
2. Площадь боковой
поверхности цилиндра
равна 15
. Найти
площадь основания
цилиндра, если его
высота равна длине
окружности основания.
«5»
1. В прямом
параллелепипеде
стороны основания
равны 26 и 10, а синус
угла между ними равен
13
4
. Определить
площадь боковой
поверхности
параллелепипеда, если
его объем равен 40.
40