Как научить школьников решать геометрические задачи

Видеман Татьяна Николаевна, учитель математики

МОУ «СШ №103 Советского района Волгограда».

Вопрос: « Как научить школьников решать геометрические задачи?» -

является важным и актуальным. Ответ на него кажется очевидным. Для того

чтобы решать задачи, нужно просто решать задачи. Однако следование этой

рекомендации может не привести к желаемому результату, поскольку задач

много, все их не

перерешаешь. Это связано с обилием различных типов

геометрических задач и с многообразием приемов, методов их решения.

На занятиях мы решаем задачи, в условии которых указано что нужно

найти или доказать. А необходимо предлагать ученикам задачи не просто на

доказательство,

а

задачи

где

самому

нужно

выяснить,

верно

ли

сформулировано утверждение. Если верно, то привести доказательство, если

нет – дать контрпример.

Такие задачи с подобным неопределенным условием труднее, чем просто

задачи

на

доказательство,

но

они

учат

отличать

верное

утверждение

от

неверного, рассуждать, анализировать, аргументировать, доказывать.

Например, рассмотрим такую подборку задач.

Выясните, верны ли следующие утверждения. Если да, докажите, если

нет, приведите контрпример.

Задача

1.

Если

угол,

сторона,

противолежащая

этому

углу,

и

высота,

опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны

углу, стороне и высоте другого треугольника, то такие треугольники равны

Дано:

1

1

1

,

C

B

A

ABC





1

1

1

1

1

,

,

H

A

AH

B

A

AB

C

C











Доказать:

1

1

1

C

B

A

ABC







H

C

B

A

H

1

C

1

B

1

A

1

Доказательство:

1.

1

1

1

H

B

A

ABHи





,

,

1

1

1

1

B

A

AB

H

A

AH





Прямоугольные треугольники равны

по гипотенузе и катету.

Значит,

1

B

B







2.

1

1

1

и

C

B

A

ABC





Так как

1

C

C







,

1

B

B





, то

1

A

A







1

1

B

A

AB



1

1

1

C

B

A

ABC







(треугольники

равны

по стороне и двум прилежащим к ней

углам).

Задача 2. Два треугольника равны, если две стороны и высота, опущенная на

одну из них, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и

высоте другого треугольника.

Дано:

1

1

1

,

C

B

A

ABC





1

1

1

1

1

1

,

H

C

CH

B

A

AB

C

A

AC







Доказать:

1

1

1

C

B

A

ABC







H

C

B

A

A

1

B

1

C

1

H

1

Доказательство:

1.

1

1

1

A

и

H

C

ACH





1

1

1

1

,

H

A

AH

C

A

AC





1

1

1

A

H

C

ACH







(

т р е у г о л ь н и к и

равны по гипотенузе и катету).

А

значит

1

A

A







2.

1

1

1

и

C

B

A

ABC





1

1

C

A

AC



1

1

B

A

AB



1

A

A







1

1

1

C

B

A

ABC







(равны

по

двум

сторонам и углу между ними)

Задача 3. Два треугольника равны, если две стороны и высота, опущенная на

третью сторону, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и

высоте другого треугольника.

Дано:

1

1

1

M

и

F

N

MNF





1

1

1

1

1

1

,

,

H

F

FH

N

F

FN

F

M

MF







Доказать:

1

1

1

M

F

N

MNF







F

N

M

S

H

F

1

N

1

M

1

S

H

1

Доказательство:

1.

1

1

1

M

и

F

N

MNF





,

H

F

M

1

1

1







MFH

т а к

к а к

1

1

H

F



FH

,

1

1

M

F



FM

, (прямоугольные

треугольники равны по гипотенузе и

катету.) Поэтому

1

1

1

H

F

M







MFH

.

2.

1

1

1

и

N

H

F

FHN







, так как

1

1

H

F



FH

,

1

1

N

F

FN



(прямоугольные

треугольники равны по гипотенузе и

катету), следовательно

1

1

1

N

F

H







HFN

Получили, что

1

F

F







.

3.

1

1

1

M

F

N

MNF







1

1

N

F

FN



1

1

M

F



FM

1

F

F







(треугольники

равны

по

двум

сторонам и углу между ними.)

Задача 4. Если угол, сторона, прилежащая к этому углу, и биссектриса,

проведенная

к

другой

стороне,

прилежащей

к

данному

углу,

одного

треугольника

соответственно

равны

углу,

стороне

и

биссектрисе

другого

треугольника, то эти треугольники равны.

Дано:

1

ABC

и





ABC

AB

- общая

1

AD

,

AD

- биссектрисы,

1

AD

AD



общий

-

B



Доказать:

1

ABC







ABC

Доказательство:

1

ABC

и





ABC

AB

- общая,

1

AD

AD



общий

-

B



Равенство

указанных

в

з а дач е

э л е м е н т о в

н е д о с т ат оч н о

д л я

равенства треугольников.

Значит, треугольники

1

ABC

и

ABC

не

равны.

(контрпример)

C

1

C

D

1

D

B

A

Решение геометрических задач – увлекательное занятие, требующее

находчивости, наблюдательности, логического мышления. Наградой за эту

работу является радость открытия «секрета» идеи решения соответствующей

задачи.

Литература.

1.

И.Смирнова,

В.Смирнов.

50

задач

о

равенстве

треугольников.

–М.:

Чистые пруды, 2010.

2.

Л.

С.

Сагателова.

Геометрия.

Решаем

задачи

по

планиметрии.

Практикум: элективный курс / авт.-сост. Л.С. Сагателова. -Волгоград:

Учитель, 2009.

3.

М.Ю. Шуба. Учим творчески мыслить на уроках математики. – М.:

Просвещение,2012.