Автор: Беляева Ольга Петровна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МАОУ СОШ №1–"Школа Сколково–Тамбов"
Населённый пункт: гТамбов
Наименование материала: методическая разработка
Тема: Методика решения неравенств функциональным методом
Раздел: полное образование
Использование области значений (ограниченности) функций
1.1.Использование области значений (ограниченности) функций
Краткие
теоретические
сведения
Областью
(множеством)
значений
функции*
y
=
f
(
x
)
называется множество значений переменной
y
при
допустимых значениях переменной
x .
Функция
f
(
x
)
называется ограниченной сверху
на
множестве
X
,
если существует число
A
такое, что для любого
x
из
множества
X
выполняется неравенство
f
(
x
)
≤ A
.
Функция
f
(
x
)
называется ограниченной снизу на множестве
X
, если
существует
число
a
такое,
что
для
любого
x
из
множества
X
выполняется неравенство
f
(
x
)
≥a
.
Функция
f
(
x
)
называется ограниченной на множестве
X
, если она
ограниченна
сверху
и
снизу.
Геометрически
ограниченность
функции
y
=
f
(
x
)
на
множестве
X
означает,
что
ее
график,
лежит
в
полосе
a≤ y ≤ A
.
Пусть
дано
уравнение
f
(
x
)
=
g
(
x
)
,
гд е
f
(
x
)
, g
(
x
)
–
элементарные
функции.
Обозначим
область
(множество)
значений
этих
функций
E
(
f
)
, E
(
g
)
соответственно.
Рассмотрим
решения
данного
уравнения
для
различных результатов множества
E
(
f
)
∩ E
(
g
)
.
Примеры и решения Пример 1. Решите уравнение
√
21
+
√
15
−
2 x
−
x
2
=
4
x
+
1
−
2
x
+
2
+
8.
❑
Решение. Найдем множество значений функции
f
(
x
)
=
√
21
+
√
15
−
2 x
−
x
2
.
Оценим
значение
выражения
15
−
2 x
−
x
2
=
16
−
(
x
+
1
)
2
≤16 ,
з нач ит
15
−
2 x
−
x
2
≤ 16 ,
следовательно
справедливо
√
15
−
2 x
−
x
2
≤4
⇔
⇔
21
+
√
15
−
2 x
−
x
2
≤25
⇔
√
21
+
√
15
−
2 x
−
x
2
≤ 5
,
т.е.
f
(
x
)
≤5.
Рис. 1
Рассмотрим функцию
g
(
x
)
=
4
x
+
1
−
2
x
+
2
+
8.
П у с т ь
2
x
=
t ,
тогда
g
(
t
)
=
4 t
2
−
4 t
+
8
, где
t
>
0.
Для
этих значений аргумента
t
функция
g
(
t
)
≥ 7
(см. рис 1), т.е.
g
(
x
)
≥7
для
любого значения
x
В итоге множества значений функций левой и правой частей уравнения не
имеют общих элементов и, следовательно, уравнение решений не имеет.
Ответ:
∅
.
Очевидно, что если
E
(
f
)
∩ E
(
g
)
=
∅
, то уравнение
f
(
x
)
=
g
(
x
)
корней не
имеет.
Однако,
если
E
(
f
)
∩ E
(
g
)
≠
∅
,
то это не означает наличие корней.
Убедимся в этом на примере.
Пример 2. Решите уравнение
cosx
=−
x
2
+
x
−
1
.
Решение. Правая часть уравнения является функцией
g
(
x
)
=−
x
2
+
x
−
1
, где
E
(
g
)
=¿
, а левая часть
−¿
функцией
f
(
x
)
=
cosx ,
где
E
(
f
)
=
[
−
1 ; 1
]
. Поэтому
E
(
f
)
∩ E
(
g
)
≠
∅
.
Так
как
функция
f
(
x
)
=
cosx
является
ограниченной,
то
данное
равенство возможно только в том случае, если
−
x
2
+
x
−
1≥
−
1
⇔
⇔
−
x
2
+
x ≥ 0
⇔
x
∈
[
0 ;1
]
.
Н о
п р и
x
∈
[
0 ; 1
]
выполняется
cosx
>
0,
т.е.
функции
f
(
x
)
, g
(
x
)
имеют разные знаки и, поэтому, уравнение не имеет
решений.
Ответ:
∅
.
1.2.Метод мажорант
Краткие
теоретические
сведения
Пусть
для
уравнения
f
(
x
)
=
g
(
x
)
выполняется
E
(
f
)
∩ E
(
g
)
={
M
}
,
т.е.
найдется
такое
число
M
,
что
для
любого
x
из
области
определения
f
(
x
)
и
g
(
x
)
имеем
f
(
x
)
≤ M
и
g
(
x
)
≥ M
. Тогда
f
(
x
)
=
g
(
x
)
⇔
{
f
(
x
)
=
M ,
g
(
x
)
=
M .
Рассмотрим аналогичную ситуацию для неравенства
f
(
x
)
≥ g
(
x
)
:
{
f
(
x
)
≤ M ,
g
(
x
)
≥ M ,
f
(
x
)
≥ g
(
x
)
;
⇔
{
f
(
x
)
=
M ,
g
(
x
)
=
M .
П р и м е р ы
и
р е ш е н и я П р и м е р
3 . Решите
уравнение
1
π
∙ arcsin
(
−
x
)
=
1
2
+
|
x
4
+
2 x
3
+
x
2
|
.
Ре ш е н и е . По
определению
а р кс и н у с а
−
π
2
≤arcsin
(−
x
)
≤
π
2
д л я
допустимых значений
x
, следовательно,
−
1
2
≤
1
π
∙ arcsin
(
−
x
)
≤
1
2
.
Та к
к а к
1
2
+
|
x
4
+
2 x
3
+
x
2
|
≥
1
2
,
делаем
вывод,
что
данное
равенство
справедливо, если
{
1
π
∙ arcsin
(
−
x
)
=
1
2
,
1
2
+
|
x
4
+
2 x
3
+
x
2
|
=
1
2
.
Решим
первое
уравнение
системы:
arcsin
(
−
x
)
=
π
2
⇔
−
x
=
1
⇔
⇔
x
=−
1.
Проверкой
убеждаемся,
что
это
значение
переменной
удовлетворяет второму уравнению системы. Следовательно,
x
=−
1
является
решением системы и данного уравнения.
Ответ:
−
1.
Пример 4. Решите неравенство
3
1
−
x
2
∙ log
1
3
(
x
2
+
1
27
)
≥ 9
.
Решение. Разделим обе части неравенства на
3
1
−
x
2
>
0,
получим
log
1
3
(
x
2
+
1
27
)
≥ 3
1
+
x
2
.
Оценим левую и правую части этого неравенства:
x
2
+
1
27
≥
1
27
⇔
log
1
3
(
x
2
+
1
27
)
≤ 3
и
1
+
x
2
≥1
⇔
3
1
+
x
2
≥ 3.
Следовательно, данное неравенство выполняется, если
{
log
1
3
(
x
2
+
1
27
)
=
3,
3
1
+
x
2
=
3.
Из полученной системы находим
x
=
0
–
единственное решение
неравенства.
Ответ: 0.
Пример 5. Решите неравенство
❑
√
1
−
cos
2
(
x
2
+
x
4
π
)
+
2
√
1
−
x
4
−
1
>
0
.
Решение. На ОДЗ неравенства, т.е. при
x
∈
[
−
1 ; 1
]
, имеем
{
❑
√
1
−
cos
2
(
x
2
+
x
4
π
)
≥ 0
2
√
1
−
x
4
≥1
, следовательно,
❑
√
1
−
cos
2
(
x
2
+
x
4
π
)
+
2
√
1
−
x
4
≥ 1.
Поэтому данное неравенство выполняется, если
❑
√
1
−
cos
2
(
x
2
+
x
4
π
)
+
2
√
1
−
x
4
≠ 1
⇔
[
❑
√
1
−
cos
2
(
x
2
+
x
4
π
)
≠ 0,
2
√
1
−
x
4
≠ 1.
Решая
совокупность,
получим
x ≠
−
1
.
Таким
образом,
решением
неравенства является промежуток
(
−
1 ; 1
]
.
Ответ:
(
−
1 ; 1
]
.
1.3.ОСНОВНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Краткие
теоретические
сведения Перечислим
неравенства,
которые
полезно «держать под рукой», при нахождении множества значений функции.
НЕРАВЕНСТВО № 1 (оценка суммы двух взаимно-обратных величин):
|
a
+
1
a
|
≥2
∀
a ≠0
,
т . е .
a
+
1
a
≥ 2
п р и
a
>
0
и
a
+
1
a
≤
−
2
п р и
a
<
0,
причем
равенство
достигается только при
a
=
±1.
НЕРАВЕНСТВО № 2 (сравнение среднего арифметического и среднего
геометрического)
a
+
b
2
≥
√
ab , a ≥0, b ≥ 0
.
НЕРАВЕНСТВО № 3.
a
+
b
2
≤
√
a
2
+
b
2
2
∀
a, b.
НЕРАВЕНСТВО № 4.
|
a cosx
+
bsinx
|
≤
√
a
2
+
b
2
∀
a , b .
П р и м е р ы
и
р е ш е н и я
П р и м е р
6 .
Р е ш и т е
у р а в н е н и е
log
3
x
−
log
x
1
3
=
2∙ sin
πx
6
.
Решение.
ОДЗ
уравнения
(
0 ; 1
)
∪
(
1 ;
+
∞
). Для левой части (в силу
неравенства №1 для суммы двух взаимно-обратных величин) выполнено:
|
log
3
x
+
log
x
3
|
=
|
log
3
x
+
1
log
3
x
|
≥ 2.
Для
правой
части
справедливо
−
2≤2 sin
πx
6
≤ 2
.
Следовательно,
данное
равенство верно, если
{
log
3
x
+
1
log
3
x
=
2,
2 sin
πx
6
=
2;
или
{
log
3
x
+
1
log
3
x
=−
2,
2sin
πx
6
=−
2.
Решением
первой
системы
является
x
=
3.
Вторая
система
решений
не
имеет.
Ответ: 3.
Пример 7. Решите уравнение
7
+
5 cos
(
2 x
2
−
x
)=
3 ∙ 4
x
+
12 ∙ 4
−
x
.
Решение. Рассмотрим функции
f
(
x
)
=
7
+
5 cos
(
2 x
2
−
x
)
и
g(x)
¿
3 ∙ 4
x
+
12 ∙ 4
−
x
. Найдем множество значений каждой из них.
−
1 ≤ cos
(
2 x
2
−
x
)
≤1
⇔
−
5 ≤5 cos
(
2 x
2
−
x
)
≤5
⇔
⇔
2≤7
+
5cos
(
2 x
2
−
x
)
≤12
.
Оценим правую часть данного уравнения. Для этого используем неравенство
№2 (стр 6) между средним арифметическим и средним геометрическим:
3 ∙ 4
x
+
12 ∙ 4
−
x
≥ 2
√
3∙ 4
x
∙ 12 ∙ 4
−
x
=
12
Видим, что
f
(
x
)
≤12
и g(x)
≥ 12
, тогда исходное равенство равносильно
системе уравнений
{
3∙ 4
x
+
12∙ 4
−
x
=
12,
7
+
5 cos
(
2 x
2
−
x
)
=
12.
Решая
первое
уравнение
системы,
находим
x
=
0,5
.
Подстановкой
убеждаемся, что
x
=
0,5
является корнем второго уравнения системы.
Таким образом,
x
=
0,5
−¿
корень данного уравнения.
Ответ:
0,5
.
Пример 8. Решите уравнение
2
+
log
5
2
(
x
−
2
)
=
√
4
−
x
+
√
x
−
2
.
Решение. ОДЗ уравнения
–
промежуток
(
2; 4
]
.
Рассмотрим функции
f
(
x
)
=
2
+
log
5
2
(
x
−
2
)
и
g
(
x
)=
√
4
−
x
+
√
x
−
2
.
Найдем множества значений этих функций.
log
5
2
(
x
−
2
)
≥ 0
⇔
2
+
log
5
2
(
x
−
2
)
≥ 2
.
Используя неравенство №3 (стр 6), получим:
√
4
−
x
+
√
x
−
2≤2
√
(
√
4
−
x
)
2
+
(
√
x
−
2
)
2
2
=
2
.
Таким образом, при
2; 4
xϵ
(
¿
выполняется
f
(
x
)
≥2
и
g
(
x
)
≤2
, поэтому данное
уравнение равносильно системе
{
2
+
log
5
2
(
x
−
2
)
=
2,
√
4
−
x
+
√
x
−
2
=
2.
Решая
первое
уравнение
системы,
находим
x
=
3
.
Подстановкой
убеждаемся, что
x
=
3
корень второго уравнения системы. Таким образом,
x
=
3
−¿
к о р е н ь
д а н н о г о
у р а в н е н и я .
Ответ:
3
.
Пример 9. Решите уравнение
sin x
+
cos8 x ∙ cos x
=
√
2.
Решение. Рассмотрим функцию
g
(
x
)
=
sin x
+
cos8 x
. Используя
неравенство №4 (стр 6), найдем множество ее значений. Пусть
a
=
cos8 x
,
b
=
1
, тогда
|
sin x
+
cos 8 x ∙ cos x
|
≤
√
1
+
cos
2
8 x
.
Т а к
к а к
0≤ cos
2
8 x ≤ 1
⇔
1 ≤1
+
cos
2
8 x ≤2
⇔
1 ≤
√
1
+
cos
2
8 x ≤
√
2
,
то
и сход н о е
уравнение имеет решения, если
cos
2
8 x
=
1
⇔
[
cos8 x
=
1,
cos8 x
=−
1.
Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности:
[
{
sinx
−
cosx
=
√
2,
cos8 x
=−
1;
{
sin x
+
cosx
=
√
2,
cos 8 x
=
1.
Решением
первой
системы
уравнений
являются
x
=
π
4
+
2 πn , n
∈
Z
,
вторая
система уравнений не имеет решений. В итоге получаем
x
=
π
4
+
2 πn , n
∈
Z
−¿
решения данного уравнения.
Ответ:
π
4
+
2 πn , n
∈
Z
.
Упражнения
Найдите множество значений функции (№ 1 – 10):
1.
y
=
1
x
2
+
1
. 2.
y
=
x
+
3
x
−
2
.
3.
y
=
√
16
−
12∙ 3
−
|
x
|
. 4.
y
=
√
25
−
16 ∙ 2
−
|
x
|
.
5.
y
=
4
1
−
sin
2
x
. 6
. y
=
27 ∙ 3
cos 4 xcos 3 x
+
sin 4xsin 3 x
−
2
.
7.
y
=
log
3
(
3
+
√
x
2
−
1
)
. 8
. y
=
log
2
(
2
+
√
x
2
+
4
)
.
9.
y
=
log
1
2
(
32
+
2 x
2
x
2
+
1
)
.
10.
y
=
5
+
lg
(
300
+
10 x
2
x
2
+
3
)
.
Докажите, что уравнения не имеют решений (№ 11 – 17):
11.
2
|
x
|
+
1
=
sin 2 x
❑
.
12.
(
4
3
)
x
=−
2 x
2
+
6 x
−
9
.
13.
√
x
=
2
−
√
x
+
5.
14.
|
x
2
−
1
|
+
8
x
=
0
.
15.
√
25
−
16 ∙ 2
−
|
x
|
=¿
2
−
log
2
(
x
2
+
1
)
.
16.
3
1
−
sin
2
x
=
√
10
+
√
x
2
+
2 x
+
37
.
17.
sinx
=
x
2
+
x
+
1 .
❑
Решите уравнения методом мажорант (№ 18 – 27):
18.
cos2 πx
=
x
2
−
2 x
+
2.
19.
5
|
1
−
4 x
2
|
=
sin πx .
❑
20.
3
|
2 x
−
π
|
x
2
=
1
−
cos
2
x .
21.
x
2
−
2 x
+
3
=
2
1
−
|
x
−
1
|
.
22.
log
1
3
(
3
+
|
sinx
|
)
=
2
|
x
|
−
2.
23.
√
9
−(
5 x
+
6
)
2
=
3
+
cos
2
5 πx
4
.
24.
log
2
(
6 x
−
x
2
−
7
)
=
7
|
x
−
3
|
.
25.
2
|
cos
(
x ∙ sinx
)
|
=
2
+
log
5
4
(
x
2
+
2 x
+
1
)
.
26. 1
+
tg
2
(
x
4
+
3 x
3
−
x
2
−
x
+
6
)
=
log
5
(
5
−
√
x
2
+
x
−
6
)
.
27.
1
(
sinx
+
√
3 cosx
)
2
=
1
4
sin 3 x .
Решите неравенства (№ 28 – 34):
28.
7
−
|
x
−
3
|
∙ log
2
(
6 x
−
x
2
−
7
)
≥1.
29.
(
1
2
)
x
2
−
2 x
∙ log
4
(
2 x
−
x
2
+
15
)
≥ 4.
30.
(
tg
π
x
−
3
−
x
3
+
4 x
2
+
x
−
4
)
2
+
(
4
x
−
18∙ 2
x
+
32
)
4
≤0
.
31.
log
2
(
4 x
−
x
2
−
2
)
≥2
−
3
−
|
x
−
2
|
.
32.
4
2 x
2
+
0,5
+
9
x
6
≤3
−
sin
2
x .
33.
√
4 x
−
3
−
x
2
+
2
2 x
2
−
4 x
+
3
≤
2.
34.
sin 2 x
+
2 cos6 x ≥ 3.
Решите уравнения (№ 35-41):
35.
log
2
(
2
x
−
1
+
2
1
−
x
)
=
1
x
2
−
2 x
+
2
.
36.
log
7
x
+
log
x
7
=
8
x
2
−
14 x
+
53
.
37.
2 cos
2
x
2
+
x
6
=
2
x
+
2
−
x
.
38.
2
cosx
=
cosx
+
1
cosx
.
39.
1
+
cos
2
x
2
+
x
6
=
log
5
(
5
+
x
)
+
1
log
5
(
5
+
x
)
.
40.
2 sin
(
x
+
π
4
)
=
tgx
+
ctgx .
41.
log
5
x
+
log
x
5
=
2sin
πx
10
.
❑
Решите уравнения (№ 42-46 :
42. 2+8
cos
(
x
−
1
)
=
5
x
+
25 ∙ 5
−
x
.
43.
12 ∙ 0,5
sin
πx
2
+
3 ∙ 2
sin
πx
2
=
5
−
4
√
cos
3 πx
2
.
44. 5
∙ 2
x
+
20 ∙ 2
−
x
=
20
−
log
3
2
(
2
−
x
)
.
45. 3
∙
√
x
−
1
+
27
√
x
−
1
=
18
−
√
x
−
10
.
46. 4
tgx
+
4 ctgx
=−
x
2
+
π
2
x
+
8
−
π
2
16
, при
0
<
x
<
π
2
.
Решите уравнения (№ 47-50),:
47.
|
x
−
1
|
+
2
=
√
x
+
√
2
−
x
.
48.
√
x
+
5
+
√
−
3
−
x
=
x
2
+
8 x
+
18
.
49.
√
7
−
x
+
√
x
+
1
+
cos2 πx
=
5.
50.
√
3
−
x
+
√
x
−
1
=
5
2
−
x
+
5
x
−
2
.
Решите уравнения (№ 51, 52)
51.
sinx
+
√
3cos 12 x ∙ cosx
=
2
. 52.
sin
x
2
∙ cos 2 x
=
1
.