Напоминание

Методика решения неравенств функциональным методом


Автор: Беляева Ольга Петровна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МАОУ СОШ №1–"Школа Сколково–Тамбов"
Населённый пункт: гТамбов
Наименование материала: методическая разработка
Тема: Методика решения неравенств функциональным методом
Раздел: полное образование





Назад




Использование области значений (ограниченности) функций

1.1.Использование области значений (ограниченности) функций

Краткие

теоретические

сведения

Областью

(множеством)

значений

функции*

y

=

f

(

x

)

называется множество значений переменной

y

при

допустимых значениях переменной

x .

Функция

f

(

x

)

называется ограниченной сверху

на

множестве

X

,

если существует число

A

такое, что для любого

x

из

множества

X

выполняется неравенство

f

(

x

)

≤ A

.

Функция

f

(

x

)

называется ограниченной снизу на множестве

X

, если

существует

число

a

такое,

что

для

любого

x

из

множества

X

выполняется неравенство

f

(

x

)

≥a

.

Функция

f

(

x

)

называется ограниченной на множестве

X

, если она

ограниченна

сверху

и

снизу.

Геометрически

ограниченность

функции

y

=

f

(

x

)

на

множестве

X

означает,

что

ее

график,

лежит

в

полосе

a≤ y ≤ A

.

Пусть

дано

уравнение

f

(

x

)

=

g

(

x

)

,

гд е

f

(

x

)

, g

(

x

)

элементарные

функции.

Обозначим

область

(множество)

значений

этих

функций

E

(

f

)

, E

(

g

)

соответственно.

Рассмотрим

решения

данного

уравнения

для

различных результатов множества

E

(

f

)

∩ E

(

g

)

.

Примеры и решения Пример 1. Решите уравнение

21

+

15

2 x

x

2

=

4

x

+

1

2

x

+

2

+

8.

Решение. Найдем множество значений функции

f

(

x

)

=

21

+

15

2 x

x

2

.

Оценим

значение

выражения

15

2 x

x

2

=

16

(

x

+

1

)

2

≤16 ,

з нач ит

15

2 x

x

2

≤ 16 ,

следовательно

справедливо

15

2 x

x

2

≤4

21

+

15

2 x

x

2

≤25

21

+

15

2 x

x

2

≤ 5

,

т.е.

f

(

x

)

≤5.

Рис. 1

Рассмотрим функцию

g

(

x

)

=

4

x

+

1

2

x

+

2

+

8.

П у с т ь

2

x

=

t ,

тогда

g

(

t

)

=

4 t

2

4 t

+

8

, где

t

>

0.

Для

этих значений аргумента

t

функция

g

(

t

)

≥ 7

(см. рис 1), т.е.

g

(

x

)

≥7

для

любого значения

x

В итоге множества значений функций левой и правой частей уравнения не

имеют общих элементов и, следовательно, уравнение решений не имеет.

Ответ:

.

Очевидно, что если

E

(

f

)

∩ E

(

g

)

=

, то уравнение

f

(

x

)

=

g

(

x

)

корней не

имеет.

Однако,

если

E

(

f

)

∩ E

(

g

)

,

то это не означает наличие корней.

Убедимся в этом на примере.

Пример 2. Решите уравнение

cosx

=−

x

2

+

x

1

.

Решение. Правая часть уравнения является функцией

g

(

x

)

=−

x

2

+

x

1

, где

E

(

g

)

=¿

, а левая часть

−¿

функцией

f

(

x

)

=

cosx ,

где

E

(

f

)

=

[

1 ; 1

]

. Поэтому

E

(

f

)

∩ E

(

g

)

.

Так

как

функция

f

(

x

)

=

cosx

является

ограниченной,

то

данное

равенство возможно только в том случае, если

x

2

+

x

1≥

1

x

2

+

x ≥ 0

x

[

0 ;1

]

.

Н о

п р и

x

[

0 ; 1

]

выполняется

cosx

>

0,

т.е.

функции

f

(

x

)

, g

(

x

)

имеют разные знаки и, поэтому, уравнение не имеет

решений.

Ответ:

.

1.2.Метод мажорант

Краткие

теоретические

сведения

Пусть

для

уравнения

f

(

x

)

=

g

(

x

)

выполняется

E

(

f

)

∩ E

(

g

)

={

M

}

,

т.е.

найдется

такое

число

M

,

что

для

любого

x

из

области

определения

f

(

x

)

и

g

(

x

)

имеем

f

(

x

)

≤ M

и

g

(

x

)

≥ M

. Тогда

f

(

x

)

=

g

(

x

)

{

f

(

x

)

=

M ,

g

(

x

)

=

M .

Рассмотрим аналогичную ситуацию для неравенства

f

(

x

)

≥ g

(

x

)

:

{

f

(

x

)

≤ M ,

g

(

x

)

≥ M ,

f

(

x

)

≥ g

(

x

)

;

{

f

(

x

)

=

M ,

g

(

x

)

=

M .

П р и м е р ы

и

р е ш е н и я П р и м е р

3 . Решите

уравнение

1

π

∙ arcsin

(

x

)

=

1

2

+

|

x

4

+

2 x

3

+

x

2

|

.

Ре ш е н и е . По

определению

а р кс и н у с а

π

2

≤arcsin ⁡

(−

x

)

π

2

д л я

допустимых значений

x

, следовательно,

1

2

1

π

∙ arcsin

(

x

)

1

2

.

Та к

к а к

1

2

+

|

x

4

+

2 x

3

+

x

2

|

1

2

,

делаем

вывод,

что

данное

равенство

справедливо, если

{

1

π

∙ arcsin

(

x

)

=

1

2

,

1

2

+

|

x

4

+

2 x

3

+

x

2

|

=

1

2

.

Решим

первое

уравнение

системы:

arcsin

(

x

)

=

π

2

x

=

1

x

=−

1.

Проверкой

убеждаемся,

что

это

значение

переменной

удовлетворяет второму уравнению системы. Следовательно,

x

=−

1

является

решением системы и данного уравнения.

Ответ:

1.

Пример 4. Решите неравенство

3

1

x

2

∙ log

1

3

(

x

2

+

1

27

)

≥ 9

.

Решение. Разделим обе части неравенства на

3

1

x

2

>

0,

получим

log

1

3

(

x

2

+

1

27

)

≥ 3

1

+

x

2

.

Оценим левую и правую части этого неравенства:

x

2

+

1

27

1

27

log

1

3

(

x

2

+

1

27

)

≤ 3

и

1

+

x

2

≥1

3

1

+

x

2

≥ 3.

Следовательно, данное неравенство выполняется, если

{

log

1

3

(

x

2

+

1

27

)

=

3,

3

1

+

x

2

=

3.

Из полученной системы находим

x

=

0

единственное решение

неравенства.

Ответ: 0.

Пример 5. Решите неравенство

1

cos

2

(

x

2

+

x

4

π

)

+

2

1

x

4

1

>

0

.

Решение. На ОДЗ неравенства, т.е. при

x

[

1 ; 1

]

, имеем

{

1

cos

2

(

x

2

+

x

4

π

)

≥ 0

2

1

x

4

≥1

, следовательно,

1

cos

2

(

x

2

+

x

4

π

)

+

2

1

x

4

≥ 1.

Поэтому данное неравенство выполняется, если

1

cos

2

(

x

2

+

x

4

π

)

+

2

1

x

4

≠ 1

[

1

cos

2

(

x

2

+

x

4

π

)

≠ 0,

2

1

x

4

≠ 1.

Решая

совокупность,

получим

x ≠

1

.

Таким

образом,

решением

неравенства является промежуток

(

1 ; 1

]

.

Ответ:

(

1 ; 1

]

.

1.3.ОСНОВНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

Краткие

теоретические

сведения Перечислим

неравенства,

которые

полезно «держать под рукой», при нахождении множества значений функции.

НЕРАВЕНСТВО № 1 (оценка суммы двух взаимно-обратных величин):

|

a

+

1

a

|

≥2

a ≠0

,

т . е .

a

+

1

a

≥ 2

п р и

a

>

0

и

a

+

1

a

2

п р и

a

<

0,

причем

равенство

достигается только при

a

=

±1.

НЕРАВЕНСТВО № 2 (сравнение среднего арифметического и среднего

геометрического)

a

+

b

2

ab , a ≥0, b ≥ 0

.

НЕРАВЕНСТВО № 3.

a

+

b

2

a

2

+

b

2

2

a, b.

НЕРАВЕНСТВО № 4.

|

a cosx

+

bsinx

|

a

2

+

b

2

a , b .

П р и м е р ы

и

р е ш е н и я

П р и м е р

6 .

Р е ш и т е

у р а в н е н и е

log

3

x

log

x

1

3

=

2∙ sin

πx

6

.

Решение.

ОДЗ

уравнения

(

0 ; 1

)

(

1 ;

+

). Для левой части (в силу

неравенства №1 для суммы двух взаимно-обратных величин) выполнено:

|

log

3

x

+

log

x

3

|

=

|

log

3

x

+

1

log

3

x

|

≥ 2.

Для

правой

части

справедливо

2≤2 sin

πx

6

≤ 2

.

Следовательно,

данное

равенство верно, если

{

log

3

x

+

1

log

3

x

=

2,

2 sin

πx

6

=

2;

или

{

log

3

x

+

1

log

3

x

=−

2,

2sin

πx

6

=−

2.

Решением

первой

системы

является

x

=

3.

Вторая

система

решений

не

имеет.

Ответ: 3.

Пример 7. Решите уравнение

7

+

5 cos ⁡

(

2 x

2

x

)=

3 ∙ 4

x

+

12 ∙ 4

x

.

Решение. Рассмотрим функции

f

(

x

)

=

7

+

5 cos ⁡

(

2 x

2

x

)

и

g(x)

¿

3 ∙ 4

x

+

12 ∙ 4

x

. Найдем множество значений каждой из них.

1 ≤ cos

(

2 x

2

x

)

≤1

5 ≤5 cos

(

2 x

2

x

)

≤5

2≤7

+

5cos

(

2 x

2

x

)

≤12

.

Оценим правую часть данного уравнения. Для этого используем неравенство

№2 (стр 6) между средним арифметическим и средним геометрическим:

3 ∙ 4

x

+

12 ∙ 4

x

≥ 2

3∙ 4

x

∙ 12 ∙ 4

x

=

12

Видим, что

f

(

x

)

≤12

и g(x)

≥ 12

, тогда исходное равенство равносильно

системе уравнений

{

3∙ 4

x

+

12∙ 4

x

=

12,

7

+

5 cos

(

2 x

2

x

)

=

12.

Решая

первое

уравнение

системы,

находим

x

=

0,5

.

Подстановкой

убеждаемся, что

x

=

0,5

является корнем второго уравнения системы.

Таким образом,

x

=

0,5

−¿

корень данного уравнения.

Ответ:

0,5

.

Пример 8. Решите уравнение

2

+

log

5

2

(

x

2

)

=

4

x

+

x

2

.

Решение. ОДЗ уравнения

промежуток

(

2; 4

]

.

Рассмотрим функции

f

(

x

)

=

2

+

log

5

2

(

x

2

)

и

g

(

x

)=

4

x

+

x

2

.

Найдем множества значений этих функций.

log

5

2

(

x

2

)

≥ 0

2

+

log

5

2

(

x

2

)

≥ 2

.

Используя неравенство №3 (стр 6), получим:

4

x

+

x

2≤2

(

4

x

)

2

+

(

x

2

)

2

2

=

2

.

Таким образом, при

2; 4

(

¿

выполняется

f

(

x

)

≥2

и

g

(

x

)

≤2

, поэтому данное

уравнение равносильно системе

{

2

+

log

5

2

(

x

2

)

=

2,

4

x

+

x

2

=

2.

Решая

первое

уравнение

системы,

находим

x

=

3

.

Подстановкой

убеждаемся, что

x

=

3

корень второго уравнения системы. Таким образом,

x

=

3

−¿

к о р е н ь

д а н н о г о

у р а в н е н и я .

Ответ:

3

.

Пример 9. Решите уравнение

sin x

+

cos8 x ∙ cos x

=

2.

Решение. Рассмотрим функцию

g

(

x

)

=

sin x

+

cos8 x

. Используя

неравенство №4 (стр 6), найдем множество ее значений. Пусть

a

=

cos8 x

,

b

=

1

, тогда

|

sin x

+

cos 8 x ∙ cos x

|

1

+

cos

2

8 x

.

Т а к

к а к

0≤ cos

2

8 x ≤ 1

1 ≤1

+

cos

2

8 x ≤2

1 ≤

1

+

cos

2

8 x ≤

2

,

то

и сход н о е

уравнение имеет решения, если

cos

2

8 x

=

1

[

cos8 x

=

1,

cos8 x

=−

1.

Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности:

[

{

sinx

cosx

=

2,

cos8 x

=−

1;

{

sin x

+

cosx

=

2,

cos 8 x

=

1.

Решением

первой

системы

уравнений

являются

x

=

π

4

+

2 πn , n

Z

,

вторая

система уравнений не имеет решений. В итоге получаем

x

=

π

4

+

2 πn , n

Z

−¿

решения данного уравнения.

Ответ:

π

4

+

2 πn , n

Z

.

Упражнения

Найдите множество значений функции (№ 1 – 10):

1.

y

=

1

x

2

+

1

. 2.

y

=

x

+

3

x

2

.

3.

y

=

16

12∙ 3

|

x

|

. 4.

y

=

25

16 ∙ 2

|

x

|

.

5.

y

=

4

1

sin

2

x

. 6

. y

=

27 ∙ 3

cos 4 xcos 3 x

+

sin 4xsin 3 x

2

.

7.

y

=

log

3

(

3

+

x

2

1

)

. 8

. y

=

log

2

(

2

+

x

2

+

4

)

.

9.

y

=

log

1

2

(

32

+

2 x

2

x

2

+

1

)

.

10.

y

=

5

+

lg ⁡

(

300

+

10 x

2

x

2

+

3

)

.

Докажите, что уравнения не имеют решений (№ 11 – 17):

11.

2

|

x

|

+

1

=

sin 2 x

.

12.

(

4

3

)

x

=−

2 x

2

+

6 x

9

.

13.

x

=

2

x

+

5.

14.

|

x

2

1

|

+

8

x

=

0

.

15.

25

16 ∙ 2

|

x

|

=¿

2

log

2

(

x

2

+

1

)

.

16.

3

1

sin

2

x

=

10

+

x

2

+

2 x

+

37

.

17.

sinx

=

x

2

+

x

+

1 .

Решите уравнения методом мажорант (№ 18 – 27):

18.

cos2 πx

=

x

2

2 x

+

2.

19.

5

|

1

4 x

2

|

=

sin πx .

20.

3

|

2 x

π

|

x

2

=

1

cos

2

x .

21.

x

2

2 x

+

3

=

2

1

|

x

1

|

.

22.

log

1

3

(

3

+

|

sinx

|

)

=

2

|

x

|

2.

23.

9

−(

5 x

+

6

)

2

=

3

+

cos

2

5 πx

4

.

24.

log

2

(

6 x

x

2

7

)

=

7

|

x

3

|

.

25.

2

|

cos ⁡

(

x ∙ sinx

)

|

=

2

+

log

5

4

(

x

2

+

2 x

+

1

)

.

26. 1

+

tg

2

(

x

4

+

3 x

3

x

2

x

+

6

)

=

log

5

(

5

x

2

+

x

6

)

.

27.

1

(

sinx

+

3 cosx

)

2

=

1

4

sin 3 x .

Решите неравенства (№ 28 – 34):

28.

7

|

x

3

|

∙ log

2

(

6 x

x

2

7

)

≥1.

29.

(

1

2

)

x

2

2 x

∙ log

4

(

2 x

x

2

+

15

)

≥ 4.

30.

(

tg

π

x

3

x

3

+

4 x

2

+

x

4

)

2

+

(

4

x

18∙ 2

x

+

32

)

4

≤0

.

31.

log

2

(

4 x

x

2

2

)

≥2

3

|

x

2

|

.

32.

4

2 x

2

+

0,5

+

9

x

6

≤3

sin

2

x .

33.

4 x

3

x

2

+

2

2 x

2

4 x

+

3

2.

34.

sin 2 x

+

2 cos6 x ≥ 3.

Решите уравнения (№ 35-41):

35.

log

2

(

2

x

1

+

2

1

x

)

=

1

x

2

2 x

+

2

.

36.

log

7

x

+

log

x

7

=

8

x

2

14 x

+

53

.

37.

2 cos

2

x

2

+

x

6

=

2

x

+

2

x

.

38.

2

cosx

=

cosx

+

1

cosx

.

39.

1

+

cos

2

x

2

+

x

6

=

log

5

(

5

+

x

)

+

1

log

5

(

5

+

x

)

.

40.

2 sin

(

x

+

π

4

)

=

tgx

+

ctgx .

41.

log

5

x

+

log

x

5

=

2sin

πx

10

.

Решите уравнения (№ 42-46 :

42. 2+8

cos

(

x

1

)

=

5

x

+

25 ∙ 5

x

.

43.

12 ∙ 0,5

sin

πx

2

+

3 ∙ 2

sin

πx

2

=

5

4

cos

3 πx

2

.

44. 5

∙ 2

x

+

20 ∙ 2

x

=

20

log

3

2

(

2

x

)

.

45. 3

x

1

+

27

x

1

=

18

x

10

.

46. 4

tgx

+

4 ctgx

=−

x

2

+

π

2

x

+

8

π

2

16

, при

0

<

x

<

π

2

.

Решите уравнения (№ 47-50),:

47.

|

x

1

|

+

2

=

x

+

2

x

.

48.

x

+

5

+

3

x

=

x

2

+

8 x

+

18

.

49.

7

x

+

x

+

1

+

cos2 πx

=

5.

50.

3

x

+

x

1

=

5

2

x

+

5

x

2

.

Решите уравнения (№ 51, 52)

51.

sinx

+

3cos 12 x ∙ cosx

=

2

. 52.

sin

x

2

∙ cos 2 x

=

1

.



В раздел образования




Яндекс.Метрика