Практическая работа

«СХЕМА БЕРНУЛЛИ

ПОВТОРНЫХ ИСПЫТАНИЙ»

Практическая работа

Схема Бернулли повторных испытаний.

Цель работы: овладение навыками и умениями применения классической

вероятностной схемы, схемы Бернулли.

Оборудование: тетрадь, письменные и чертежные принадлежности, справочные

материалы.

Ход работы:

1) Познакомиться с теоретическим материалом.

2) Сделать в тетрадях краткий конспект теоретического материала

(основные понятия, определения, формулы, примеры).

3) Выполнить задания самостоятельной работы.

Содержание работы:

При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в

которых

одно

и

тоже

испытание

повторяется

многократно

и

исход

каждого

испытания независим от исходов других. Такой эксперимент ещё называется схемой

повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Схема Бернулли — это когда производится

n однотипных независимых опытов,

в каждом

из которых

может

появиться

интересующее нас

событие A,

причем

известна

вероятность

этого

события P(A) = p. Требуется определить вероятность

того, что при проведении n испытаний событие A появится ровно k раз.

Задачи,

которые

решаются

по схеме

Бернулли,

чрезвычайно

разнообразны:

от простеньких

(типа

«найдите

вероятность,

что стрелок

попадет

1 раз

из 10»)

до весьма

суровых

(например,

задачи

на проценты

или

игральные карты).

В реальности

эта схема

часто

применяется

для решения

задач,

связанных

с контролем

качества

продукции

и надежности

различных

механизмов,

все характеристики которых должны быть известны до начала работы.

Поскольку в определении речь идет о независимых испытаниях, и в каждом опыте

вероятность события A одинакова, возможны лишь два исхода:

1.

A — появление события A с вероятностью p;

2. «не А» — событие А не появилось, что происходит с вероятностью q = 1 − p.

Важнейшее условие, без которого схема Бернулли теряет смысл — это постоянство.

Сколько бы

опытов

мы

ни проводили,

нас

интересует

одно

и то же

событие A,

которое возникает с одной и той же вероятностью p.

Если условия постоянны, можно точно определить вероятность того, что событие

A

произойдет

ровно k

р а з

и з n

возможных.

Сформулируем

этот факт

в виде теоремы:

Теорема Бернулли.

Пусть

вероятность

появления

события A в каждом

опыте

постоянна

и равна р.

Тогда

вероятность

того,

что

в n независимых

испытаниях

событие A появится ровно k раз, рассчитывается по формуле:

− формула вероятности k успехов в серии из n

испытаний Бернулли.

.

-

p

1

q

p

k)!

(n

k!

n!

С

k

n

испытании

одном

в

неудачи

ь

вероятност

,

успеха

ь

вероятност

,

сочетаний

число

где













Формула

так и называется: формула Бернулли.

Пример 1.

В урне 20 белых т 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар

возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают.

Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых.

Решение.

Событие А – достали белый шар. тогда вероятности Р( А )

3

2



, Р( А )

3

1



.

По формуле Бернулли требуемая вероятность равна Р

4

( 2 )

27

8

3

1

3

2

2

2

2

4





























С

.

Пример 2.

Определить вероятность того, что в семье, имеющий 5 детей, будет не больше трех

девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

Решение.

Вероятность рождения девочки p

2

1



, тогда q

2

1



.

Найдем вероятности того, что в семье нет девочек, родилась одна, две или три

девочки:

,

,

,

.

Следовательно, искомая вероятность

.

Пример 3.

Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем 4% нестандартных.

Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 30 деталей две будут

нестандартными.

Решение.

Здесь опыт заключается в проверке каждой из 30 деталей на качество. Событие А -

«появление нестандартной детали», его вероятность р = 0,04 , q = 0.96 .

Отсюда по формуле Бернулли находим

.

Пример 4

В случайном эксперименте монету бросили три раза. Какова вероятность того, что

орел выпал ровно два раза?

Решение.

Используем

формулу

вероятности

двух

успехов

в

серии

из

трех

испытаний

Бернулли.

375

,

0

5

,

0

5

,

0

3

2

2

2

3









q

p

С

,

где р = 0,5 − вероятность орла (успеха) при одном броске,

а q = 1 − р − вероятность решки (неудача).

Самостоятельная работа.

Вариант 1.

Задача 1.

Монету бросают 6 раз. Выпадение герба и решки равновероятно. Найти вероятность

того, что герб выпадет три раза.

Задача 2.

Стрелок стреляет по мишени 4 раза подряд. Известно, что вероятность попадания в

мишень при каждом выстреле равна 0,9 . Найдите вероятность того, что мишень

будет поражена хотя бы один раз.

Вариант 2.

Задача 1.

Монету бросают 6 раз. Выпадение герба и решки равновероятно. Найти вероятность

того, что герб выпадет один раз.

Задача 2.

Стрелок стреляет по мишени 4 раза подряд. Известно, что вероятность промаха при

каждом выстреле равна 0,1 . Найдите вероятность того, что стрелок хотя бы один раз

промахнется.