Практическая работа

«ЗАДАЧИ НА ОПТИМИЗАЦИЮ»

Практическая работа

Задачи на оптимизацию

Цель работы: отработать умения пользоваться методом математического

моделирования при решении задач на оптимизацию.

Оборудование: тетрадь, письменные принадлежности, справочные материалы.

Ход работы:

1) Познакомиться с теоретическим материалом.

2) Сделать в тетрадях краткий конспект теоретического материала

(основные понятия, определения, формулы, примеры).

3) Выполнить самостоятельную работу.

Содержание работы:

Оптимизация в широком смысле находит применение в науке, технике и в любой

другой

области

человеческой

деятельности.

Оптимизация

–

целенаправленная

деятельность,

заключающаяся

в

получении

наилучших

результатов

при

соответствующих условиях.

Российский математик

XIX в.

П.Л.

Чебышев говорил,

что «особенную важность

имеют

те

методы

науки,

которые

позволяют

решать

задачу,

общую

для

всей

практической

деятельности

человека:

как

располагать

своими

средствами

для

достижениями наибольшей выгоды».

С такими задачами в наше время приходится

иметь дело представителям самых разных специальностей:

инженеры-технологи

стараются так организовать производство,

чтобы выпускалось как можно больше

продукции;

конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля

так,

чтобы масса прибора была наименьшей;

экономисты стараются спланировать

связи завода с источниками сырья так,

чтобы транспортные расходы оказались

минимальными, и т. д.

Задачи

подобного

рода

носят

общее

название

—

задачи

на

оптимизацию

(от

латинского

слова

optimum

—

«наилучший»)

, В

самых

простых

задачах

на

оптимизацию мы имеем дело с двумя величинами,

одна из которых зависит от

другой,

причем надо найти такое значение второй величины,

при котором первая

принимает

свое

наименьшее

или

наибольшее,

(наилучшее

в

данных

условиях)

значение.

Задачи на оптимизацию решают по обычной схеме из трех этапов математического

моделирования:

1) составление математической модели;

2) работа с моделью;

3) ответ на вопрос задачи.

Этот общий метод называют методом математического моделирования.

Первый

этап. Составление математической модели.

1)

Проанализировав

условия

задачи,

выделите

оптимизируемую

величину

(сокращенно:

О.

В. ) , т.

е.

величину,

о наибольшем или наименьшем значении

которой идет речь.

Обозначьте ее буквой у(или S, V, R,

t — в зависимости от

фабулы).

2)

Одну

из

участвующих

в

задаче

неизвестных

величин,

через

которую

сравнительно

нетрудно

выразить

О.

В.

, примите

за

независимую

переменную

(сокращенно:

Н.

П. ) и обозначьте

ее

буквой х (или какой-либо иной

буквой).

Установите реальные границы изменения Н. П. (в соответствии с условиями задачи),

т. е. область определения для искомой О. В.

3)

Исходя из условий задачи,

выразите у через х. Математическая модель задачи

представляет собой функцию у =f(х) с областью определения X,

которую нашли на

втором шаге.

Второй

этап.

Работа с составленной моделью. На этом этапе для функции

у = f(х),

x



X

найдите y

наим.

или у

наиб.

,

в зависимости от того,

что требуется в условии

задачи.

Третий

этап. Ответ на вопрос задачи.

Здесь следует дать конкретный ответ на вопрос задачи,

опираясь на результаты,

полученные на этапе работы с моделью.

Решение задач на оптимизацию:

а) арифметические

Число 12 представьте в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы

произведение

квадрата

одного

из

них

на

удвоенное

другое

слагаемое

было

наибольшим.

Решение:

1) О.В. – произведение двух чисел, обозначим через у.

2) х – независимая величина, это первое слагаемое,

тогда ( 12 – х ) – второе слагаемое

Получим

3

2

2

x

2

x

24

)

x

12

(

2

x

y











, где





12

;

0

x



3)













2

2

3

2

3

2

x

6

x

48

x

3

2

x

2

24

x

2

x

24

x

2

x

24

y































Критических точек нет.

у' = 0

8 – первое слагаемое числа 12

12 – 8 = 4 - второе слагаемое числа 12

Ответ: 8 и 4 – слагаемые числа 12.

48х – 6х

2

= 0

6х (8 – х ) = 0

х

1

= 0 - не удовлетворяет условию

х

2

= 8 - стационарная точка.

б) геометрические

Площадь прямоугольного участка земли составляет 100 м

2

. Какими должны быть

размеры участка, чтобы длина изгороди была наименьшей?

Решение:

1) S = 100 м

2

х – длина одной стороны прямоугольного участка

х

100

– длина второй стороны

2) Периметр участка









2

2

2

х

200

х

2

х

200

2

х

Р

х

200

х

2

х

100

х

2

х

Р































3)





















0

х

0

200

х

2

0

х

Р

2

2

Ответ: 10 м и 10 м – размеры участка.

2х

2

= 200

х

2

= 100

х

1

= 10

х

2

= – 10 - не удовлетворяет условию задачи

в) экономические

Закрытый металлический бак с квадратным дном должен иметь объем 343 м

3

. При

каких размерах на его изготовление пойдет наименьшее количество материала.

Решение:

1) О.В. – площадь поверхности бака (у).

2) х – сторона основания бака,

h – его высота,

2

2

x

343

h

;

x

V

h





S

пов.б.

= 2S

осн.

+ S

бок.

S

пов.б

=





.

;

0

х

где

,

х

1372

х

2

2







3)

2

3

2

х

1372

х

4

х

1372

х

4

у











x = 0 – критическая точка,

стационарную точку найдем из условия у' = 0.

Имеем: 4х

3

– 1372 = 0,

х

3

= 343

Так как, у ' < 0 при х < 7 и у ' > 0 при х > 7, то х = 7 - единственная точка экстремума

функции на заданном промежутке, значит, в этой точке функция достигает своего

наименьшего значения. Следовательно, параметры бака равны 7, 7, 7.

Ответ: 7 м, 7 м, 7 м – размеры бака.

Задания для самостоятельной работы.

Вариант 1.

1) Представьте число 20 в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы

произведение одного из них на куб другого было наибольшим.

2) Периметр прямоугольника равен 16 м. Каковы должны быть ширина и высота

прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

Вариант 2.

1) Число 9 представьте в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы

произведение квадрата одного из них на утроенное другое было наибольшим.

2) Каковы должны быть стороны прямоугольного участка, периметр которого равен

120 м, чтобы площадь этого участка была наибольшей?