Практическая работа

«НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ»

Практическая работа

Непрерывные дроби

Цель работы: освоить методы разложения действительных чисел в непрерывные

дроби.

Оборудование: тетрадь, письменные принадлежности, справочные материалы.

Ход работы:

1) Познакомиться с теоретическим материалом.

2) Сделать в тетрадях краткий конспект теоретического материала

(основные понятия, определения, формулы, примеры).

3) Выполнить самостоятельную работу.

Содержание работы:

Исторически

непрерывные

дроби

или

цепные

дроби

появились

в

связи

с

необходимостью найти наилучшее приближение действительного числа с помощью

числа рационального.

Понятие непрерывной дроби.

Дробь

b

a

можно записать в виде суммы целой части правильной дроби:

.

r

r

q

1

q

1

q

b

a

получим

Далее

.

r

r

q

1

q

b

a

,

Значит

.

r

r

q

r

b

:

дальшe

а

,

b

1

b

r

Ho

.

b

r

q

b

a

2

3

2

1

0

1

2

1

0

1

2

1

1

1

1

0

























Продолжим этот процесс до тех пор, пока не придем к знаменателю q

n

. В результате

мы представим обыкновенную дробь

b

a

в виде:

.

q

1

1

q

1

q

1

q

b

a

n

2

1

0

















Дроби такого вида называют непрерывными или цепными дробями. Для удобства

непрерывную дробь записывают в виде [q

0

; q

1

, q

2

, … , q

n

], где целая часть

отделяется от остальной части точкой с запятой, а остальные члены – запятой.

Разложение действительных чисел в непрерывную дробь.

Пример 1.

,

8

1

2

1

8

17

1

17

8







или в компактной форме: [0 ; 2 , 8] .

Пример 2.

4

1

2

1

3

1

1

4

9

1

3

1

1

9

4

3

1

1

9

31

1

1

31

9

1

31

40





























,

или в компактной форме [1 ; 3, 2, 4]

Пример 3.

2

1

1

1

2

1

1

1

5

1

2

3

1

2

1

1

1

5

1

3

2

2

1

1

1

5

1

3

8

1

1

1

5

1

8

3

1

1

5

1

8

11

1

5

1

11

8

5

1

11

63

1

63

11

















































или в компактной форме [0 ; 5, 1, 2, 1, 2]

Любое рациональное число представимо в виде конечной непрерывной дроби.

Пример 4. Пример 5.

...

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2













...

1

1

4

1

1

1

1

1

1

1

2

7















[1 ; 2, 2, 2…] [2 ; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4,…]

Иррациональное число представляется в виде бесконечной непрерывной дроби.

Задания для практической работы.

Вариант 1.

Разложите обыкновенные дроби в непрерывную дробь:

а)

9

8

;

б)

17

7

.

Вариант 2.

Разложите обыкновенные дроби в непрерывную дробь:

а)

17

8

;

б)

16

29

.

Заслушать сообщения учащихся на темы:

1) «Календарь и непрерывные дроби».

2) «Золотое сечение и непрерывные дроби».