Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Кузбасский государственный технический университет

имени Т. Ф. Горбачева»

Кафедра теории и методики профессионального образования

Составитель

М. А. Хивинцева

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕКОЕ

ПОСОБИЕ

по математике для самостоятельной работы

студентов 1 курса СПО

«Повторение программного материала

по алгебре за курс основной школы»

Кемерово, 2020

Ι. ДРОБИ

ДРОБИ

ОБЫКНОВЕННЫЕ

ДЕСЯТИЧНЫЕ

ПРАВИЛЬНЫЕ НЕПРАВИЛЬНЫЕ

§1 Обыкновенные дроби.

Опр.

Обыкновенная дробь – это число вида

, где

и

натуральные числа.

- числитель дроби

- знаменатель дроби

Пример:

Опр.

Дробь называется правильной , если её числитель мень-

ше знаменателя.

Пример:

Опр.

Дробь называется

неправильной , если её числитель

больше знаменателя или равен ему.

Пример :

Неправильную дробь можно представить в виде смешанного

числа состоящего из целой части и дробной части.

Пример :

− смешанное число , причем

1 − целая часть числа

− дробная часть числа.

2

Запись неправильной дроби в виде смешанного числа называет-

ся выделением целой части числа.

Правило. Чтобы обратить неправильную дробь в смешанное

число, надо числитель дроби разделить на знаменатель и найти

остаток.

Примеры : а)

, так как

б)

, так как

Правило. Чтобы представить смешанное число в виде непра-

вильной дроби, нужно целую часть числа умножить на знамена-

тель (дробной части) и к полученному числу прибавить числи-

тель (дробной части). Полученную сумму записать в числитель,

а знаменатель оставить прежним.

Примеры : а)

б)

, так как

§2 Десятичные дроби.

Опр.

Десятичными дробями называют дроби со знаменате-

лями 10, 100, 1000 и т.д.

Пример :

Десятичные дроби принято записывать без знаменателя. Сна-

чала пишут целую часть, а потом числитель дробной части. Це-

лую часть отделяют от дробной запятой.

Если дробь правильная, то перед запятой пишут 0, а количе-

ство знаков (цифр) после запятой должно равняться числу нулей

в знаменателе.

Пример :

;

;

;

;

3

Правило. Чтобы преобразовать десятичную дробь в обыкно-

венную, её записывают со знаменателем и, если возможно со-

кращают.

Пример :

;

;

Правило. Чтобы превратить обыкновенную дробь в десятич-

ную, нужно числитель разделить на знаменатель.

Пример :

;

Однако не всякую обыкновенную дробь можно обратить в (ко-

нечную) десятичную.

§3 Действия с обыкновенными дробями.

1. Основное свойство дроби.

Правило. Если числитель и знаменатель дроби умножить или

разделить на одно и тоже натуральное число, то получится

равная ей дробь.

Примеры : а)

или

,

следовательно

б)

или

,

следовательно

в)

, т.о.

г)

или

или

, т.о.

2. Сокращение дроби

Опр.

Сокращением дроби называется замена данной дроби

другой, равной ей дробью с меньшими, чем были числителем и

знаменателем.

4

Примеры : Сократить дробь: а)

б)

или

3. Приведение дробей к общему знаменателю.

При выполнении многих заданий с двумя или более дробями

их нужно заменить равными дробями с одинаковыми знаменате-

лями. Такая замена называется приведение дробей к общему зна-

менателю. Чаще всего дроби приводят к наименьшему общему

знаменателю.

Правило. Чтобы привести дроби к наименьшему общему зна-

менателю, надо:

1)

Найти наименьшее общее кратное знаменателей этих

дробей (т.е. найти наименьшее натуральное число, кото-

рое делится на каждое число стоящее в знаменателе).

Полученное число будет являться наименьшим общим

знаменателем.

2)

Найти дополнительные множители.

3)

Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её

дополнительный множитель.

Пример : Привести дроби

и

к наименьшему общему

знаменателю.

1)

Найдем наименьшее общее кратное для чисел 8 и 6. Оно равно

24 (т.к. 24 делится на 8 и на 6 без остатка).

2)

Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для

дроби

дополнительный множитель равен 3 (т.к. 24:8=3).

Для дроби

дополнительный множитель равен 4 (т.к. 24:6=

4).

3)

таким образом дроби

приведены к общему знаменателю.

5

4. Сложение дробей.

Правило. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателя-

ми надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот

же.

Пример. а)

б)

Правило. Чтобы сложить дроби с разными знаменателями,

надо привести их к наименьшему общему знаменателю, а затем

сложить полученные дроби.

Пример.

Правило 1. Чтобы сложить смешанные числа, нужно отдель-

но найти сумму целых и сумму дробных частей.

Правило 2. Чтобы сложить смешанные числа, нужно пред-

ставить их в виде неправильной дроби, а затем полученные дро-

би привести к общему знаменателю и сложить.

При сложении смешанных чисел применяют или первое прави-

ло или второе правило.

Примеры: а)

(

при сложении смешанных чисел применялось первое правило

)

б)

(

при сложении смешанных чисел применялось второе правило

)

5. Вычитание дробей.

Правило. Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателя-

ми, нужно вычесть числитель вычитаемого из числителя умень-

шаемого, а знаменатель оставить прежним.

Примеры: а)

б)

6

Правило. Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями,

нужно сначала привести дроби к наименьшему общему знамена-

телю, а затем вычесть.

Примеры: а)

б)

Правило. Чтобы вычесть смешанные числа, нужно предвари-

тельно обратить их в неправильную дробь, затем полученные

дроби привести к общему знаменателю и вычесть по правилу

вычитания дробей.

Примеры: а)

б)

6. Умножение дробей.

Правило. Чтобы умножить дробь на дробь, нужно числитель

умножить на числитель, а знаменатель на знаменатель и пер-

вое произведение записать числителем, а второе − знамена-

телем.

При умножении дробей, если возможно , выполняют сокраще-

ния.

Примеры: а)

б)

в)

г)

Правило. Для того чтобы выполнить умножение смешанных

чисел, надо записать их в виде неправильных дробей, а затем

воспользоваться правилом умножения дробей.

Примеры: а)

б)

7

Правило. Чтобы умножить смешанное число на целое число,

надо цело число записать в виде дроби со знаменателем 1, а

смешанное число в виде неправильной дроби и перемножить по-

лучившиеся дроби.

Примеры: а)

б)

в)

г)

7. Деление дробей.

Правило. Чтобы разделить одну дробь на другую, надо дели-

мое умножить на число, обратное делителю.

Примеры: а)

б)

в)

г)

д)

8. Порядок выполнения действий.

При выполнении совместных действий с обыкновенными и де-

сятичными дробями часть действий можно выполнять в десятич-

ных дробях, а часть − в обыкновенных. Необходимо учитывать

то, что не всегда обыкновенная дробь может быть превращена в

конечную десятичную дробь. Поэтому записывать десятичной

8

дробью можно только тогда, когда проверено, что такое преоб-

разование возможно.

Правило 1. Если в выражении нет скобок и оно содержит

действия только сложения и вычитания (умножения и деления),

то эти действия выполняются по порядку слева на право.

Примеры: а)

1)

2)

б)

1)

2)

Правило 2. Если выражение содержит действия сложения,

вычитания, умножения, деления и в нем нет скобок, то сначала

выполняются действия умножения, деления, а затем сложения,

вычитания.

Пример:

1)

2)

3)

4)

Правило 3. Если в выражении есть скобки, то сначала выпол-

няют действия в скобках , учитывая при это правила 1и 2.

Пример:

1)

2)

3)

9

4)

Упражнения.

Выполните указанные действия :

1.

Отв.

2.

Отв.

3.

Отв.

4.

Отв.

5.

Отв.

6.

Отв.

7.

Отв.

8.

Отв.

ΙΙ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ.

§4 Одночлены и многочлены.

В алгебре для обозначения чисел, кроме цифр, пользуются

буквами латинского алфавита

.

Буквы употребляют: 1) для обозначения неизвестных чисел,

например в уравнениях .

2)

для обозначения произвольных чисел,

например в формулах.

Опр.

Совокупность чисел и букв, соединенных знаками

умножения, сложения, деления, вычитания и возведения в сте-

пень, называется алгебраическим выражением.

10

Пример.

Опр.

Алгебраическое выражение, которое содержит только

действия умножения и возведения в степень называется одночле-

ном.

Пример.

Опр.

Сумма нескольких одночленов называется многочленом.

Пример.

9. Приведение подобных слагаемых.

Опр.

Одночлены называются подобными, если они имеют

одинаковую буквенную часть, коэффициенты при этом могут

быть одинаковыми или отличаться.

С подобными одночленами можно производить арифметические

действия. Операция сложения или вычитания подобных одно-

членов называется приведение подобных слагаемых.

Правило. Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить

их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную

часть.

Пример:

10. Раскрытие скобок.

Раскрыть скобки в алгебраическом выражении, значит заме-

нить его тождественным выражением, не содержащим скобок.

Правила раскрытия скобок:

1)

Чтобы раскрыть скобки перед которыми стоит знак "+",

надо записать без скобок все члены, стоящие в скобках, с

их знаками

.

2)

Чтобы раскрыть скобки перед которыми стоит знак "-",

надо записать без скобок все члены, стоящие в скобках, с

противоположными знаками.

Пример:

Правило. Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно

каждый член многочлена умножить на этот одночлен.

11

Пример:

Правило. Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо

каждый член одного многочлена умножить на каждый член

другого многочлена и полученные произведения сложить.

Пример:

11. Формулы сокращенного умножения.

При возведении двучлена в степень, умножении многочленов,

разложении многочленов на множители и других тождествен-

ных преобразованиях многочленов применяются формулы со-

кращенного умножения.

12. Разложение многочлена на множители.

Разложить многочлен на множители значит представить его в

виде произведения двух (или более) других многочленов. При

этом используются формулы сокращенного умножения и неко-

торые специальные приёмы разложения на множители.

Вынесение общего множителя за скобки.

Чтобы разложить многочлен на множители вынесением обще-

го множителя за скобки, надо:

а) определить этот общий множитель

б) разделить на него все члены многочлена

в) записать произведение общего множителя на полученное

частное, взяв это частное в скобки.

Примеры: а)

б)

в)

12

Разложение квадратного трехчлена на множители.

Теорема. Если квадратное уравнение имеет действительные

корни

и

, то

Пример: Разложите на множители выражение

.

Найдем корни квадратного уравнения

По теореме о разложении квадратного трехчлена на множители имеем:

Упражнения.

Упростите выражение:

9.

14.

10.

15.

11.

16.

12.

17.

13.

18.

Разложите на множители:

19.

23.

20.

24.

21.

25.

22.

Разложите на множители квадратный трехчлен:

26.

30.

27.

31.

28.

32.

29.

33.

§5 Алгебраические дроби и действия над ними.

13

Опр.

Алгебраической дробью называется выражение вида :

, где

и

− многочлены.

Пример:

13. Сокращение алгебраических дробей.

Опр.

Сократить алгебраическую дробь − это значит разде-

лить её числитель и знаменатель на их общий множитель.

Правило. Если числитель и знаменатель дроби одночлены, то

общие делители находят устно и затем дробь сокращают.

Пример:

Правило. Если числитель и знаменатель алгебраической дроби

многочлены, то их надо предварительно разложить на множи-

тели (если это возможно) и после этого произвести сокраще-

ние.

Пример:

14. Приведение алгебраических дробей к

общему знаменателю.

Для того чтобы привести алгебраические дроби к общему зна-

менателю, надо:

1)

разложить знаменатель каждой дроби на множители

2)

В общий знаменатель вынести все различные сомножители

данных знаменателей с наибольшим показателем степени.

Примеры: Найти общий знаменатель алгебраических дробей

а)

и

-

знаменателем каждой дроби является

одночлен, т.е. знаменатели представле-

ны в виде произведения. Внесем в общий знаменатель все

различные сомножители, стоящие в каждой дроби:

- это и есть общий знаменатель для двух данных дро-

бей.

14

б)

и

разложим знаменатель каждой дроби на множители:

и

тогда общий знаменатель будет иметь вид:

15. Сложение и вычитание алгебраических дробей.

Правило. Чтобы сложить (вычесть) алгебраические дроби с

одинаковыми знаменателями, надо сложить (вычесть) их чис-

лители и результат разделить на их общий знаменатель.

Примеры: а)

б)

Правило. Чтобы сложить (вычесть) алгебраические дроби с

разными знаменателями, надо:

1)

разложить на множители числитель и знаменатель

каждой алгебраической дроби

2)

одинаковые сомножители в числителе и знаменателе

каждой дроби сократить

3)

найти и записать общий знаменатель дробей

4)

найти и записать дополнительные множители для каж-

дой алгебраической дроби

5)

записать сумму (разность) произведений числителей и

дополнительных множителей, учитывая знаки

6)

упростить если возможно полученную дробь.

Пример 1:

15

Пример 2:

Пример 3:

16. Умножение и деление алгебраических дробей.

Правило. Чтобы перемножить алгебраические дроби, надо

перемножить отдельно их числители и знаменатели и первое

произведение записать числителем, а второе знаменателем.

Пред тем как производить умножение многочленов, стоящих в

числителе и знаменателе, необходимо одинаковые сомножители,

если они есть, сократить.

Примеры: а)

б)

Деление алгебраических дробей сводится к умножению.

Пример:

Упражнения.

Сократите дробь:

16

34.

36.

38.

35.

37.

39.

Упростите выражение:

40.

50.

41.

51.

42.

52.

43.

53.

44.

54.

45.

55.

46.

56.

47.

57.

48.

58.

49.

59.

Упростите выражение:

60.

66.

61.

67.

17

62.

68.

63.

69.

64.

70.

65.

71.

ΙΙΙ. УРАВНЕНИЯ.

Опр.

Уравнением называют равенство, в котором неиз-

вестное обозначено буквой. Значение буквы, при котором из

уравнения получается верное числовое равенство, называют кор-

нем уравнения.

Опр.

Решить_уравнение – значит, найти все его корни или до-

казать, что корней нет.

Правила решения уравнений.

Правило 1. Корни уравнения не изменятся, если какое-нибудь

слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изме-

нив при этом знак.

Примеры: а)

б)

-4

+ х

Правило 2. Корни уравнения не изменятся, если его обе части

умножить или разделить на одно и тоже число, не равное нулю.

Примеры : а)

Разделим каждое слагаемое обеих ча-

стей

уравнения на 2.

б)

Умножим каждое слагаемое обеих час-

тей уравнения на 3.

18

§6 Уравнения первой степени.

Опр.

Уравнением первой степени с одним неизвестным на-

зывают уравнение, в одной части которого есть многочлен пер-

вой степени относительно одного неизвестного, а во второй –

тоже многочлен первой степени относительно этого же неиз-

вестного или какое-нибудь число.

Примеры : а)

б)

в)

17. Простейшие линейные уравнения.

Опр.

К простейшим уравнениям можно отнести уравнения

вида:

;

;

.

Решение простейших уравнений

Вид

уравнения

Решение

уравнения

Пример 1. а)

б)

Ответ:

Ответ:

Пример 2. а)

б)

Ответ:

Ответ:

Пример 3. а)

б)

19

Ответ:

Ответ:

Упражнения.

Решите уравнение

:

72.

Отв.

74.

Отв.

73.

Отв.

75.

Отв.

76.

Отв.

79.

Отв.

77.

Отв.

80.

Отв.

78.

Отв.

18. Линейные уравнения.

Опр.

Линейным уравнением с одним неизвестным называ-

ется уравнение вида :

, где

.

Это уравнение всегда имеет единственное решение

.

Каждое уравнение первой степени с одним неизвестным можно

привести к виду

.

Пример 1. а)

б)

Ответ:

Ответ:

Пример 2. а)

б)

Ответ:

Ответ:

Пример 3. а)

б)

20

Ответ:

Ответ:

Пример 4. а)

б)

Ответ:

Ответ:

Пример 5.

Раскроим скобки, в правой части

урав-

нения.

Сгруппируем в одной части члены,

содержащие неизвестные, а в другой -

свободные члены.

Разделим обе части уравнения на 12.

Ответ:

Пример 6. а)

б)

Ответ:

Ответ:

21

Пример 7. а)

б)

Ответ:

Ответ:

Упражнения.

Решите уравнение :

81.

Отв.

91.

Отв.

82.

Отв.

92.

Отв.

83.

Отв.

93.

Отв.

84.

Отв.

94.

Отв.

85.

Отв.

95.

Отв.

86.

Отв.

96.

Отв.

87.

Отв.

97.

Отв.

88.

Отв.

98.

Отв.

22

89.

Отв.

99.

Отв.

90.

Отв.

§7 Квадратное уравнение.

Опр.

Квадратным уравнением с одним неизвестным называ-

ется уравнение вида :

, где

.

Решение квадратного уравнения

1.

Найти дискриминант квадратного уравнения по формуле:

2.

Найти решение квадратного уравнения :

Знак дискри-

минанта

D > 0

D = 0

D < 0

Решения квад-

ратного урав-

нения

Решений

нет

Пример 1.

Решение :

,

,

;

Так как D > 0 , то

Ответ :

;

.

Пример 2.

23

Решение :

,

,

;

Так как D > 0 , то

Ответ :

;

Пример 3.

Решение :

;

;

Так как D = 0 , то

Ответ :

Пример 4.

Решение :

;

;

Так как D < 0 , то уравнение решений не имеет.

Ответ : решений нет.

Упражнения.

Решите уравнение :

100.

Отв.

101.

Отв.

102.

Отв.

103.

Отв.

104.

Отв.

105.

Отв.

106.

Отв.

107.

Отв.

24

108.

Отв.

109.

Отв.

110.

Отв.

111.

Отв.

112.

Отв. нет решений

113.

Отв. нет решений

19. Неполное квадратное уравнение.

Опр.

Неполным квадратным уравнением называется квад-

ратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов

или

равен нулю.

Если коэффициент

, то уравнение принимает вид :

.

Если коэффициент

, то уравнение имеет вид :

.

Решение неполного квадратного уравнения.

Вид уравне-

ния

Решение

неполного

квадратного

уравнения

или

Если

>0 ,то

Если

<0 ,то уравне-

ние решений не

имеет

Пример 1.

Решение :

или

25

Ответ :

;

Пример 2.

Решение :

или

Ответ :

;

Пример 3.

Решение :

или

Ответ :

;

Пример 4.

Решение :

Ответ :

;

Пример 5.

Решение :

, так как -4<0, то уравнение решений не име-

ет.

Ответ : решений нет.

Пример 6.

Решение :

26

Ответ :

;

Упражнения.

Решите уравнение :

114.

Отв.

;

115.

Отв.

;

116.

Отв.

;

117.

Отв.

;

118.

Отв.

;

119.

Отв.

;

120.

Отв.

;

121.

Отв.

;

§8 Уравнения содержащие неизвестное

в знаменателе.

Решая уравнения содержащие неизвестное в знаменателе

необходимо учитывать правило, что на_0_делить нельзя. Кор-

ни уравнения, при которых знаменатель в начальном уравнении

обращается в ноль, надо отбрасывать как посторонние.

При решении уравнений содержащих неизвестное в знамена-

теле, часто применяется правило пропорции : если

, то

.

Пример 1.

Решение :

Ответ :

Пример 2.

Решение :

27

Ответ :

Пример 3.

Решение :

Ответ :

Пример 4.

Решение :

Ответ :

Пример 5.

Решение :

Ответ :

Пример 6.

Решение :

Ответ :

Упражнения.

Решите уравнение :

122.

Отв.

123.

Отв.

124.

Отв.

125.

Отв.

28

126.

Отв.

127.

Отв.

128.

Отв.

129.

Отв.

130.

Отв.

131.

Отв.

132.

Отв.

133.

Отв.

ΙV. НЕРАВЕНСТВА.

Опр.

Два числа или выражения, соединенные знаком

"больше" (

>

) или знаком "меньше" (

<

) образуют неравен-

ства .

Примеры : а)

5 < 8

; б)

3 > -1

; в)

< 0 ; г)

>

Выражение, стоящее слева от знака неравенства, называется

левой частью неравенства, а выражение, стоящее справа от зна-

ка неравенства, - правой частью неравенства.

Знаки

>

и

<

противоположны друг другу.

Иногда между двумя выражениями ставят знаки

≥

(больше или

равно) и

≤

(меньше или равно).

Примеры : а)

; б)

Неравенство содержащее знак : 1)

<

или

>

называется стро-

гим неравенством ;

2)

≤

или

≥

называется не-

строгим неравенством .

29

Неравенства бывают числовые и буквенные (неравенства с неиз-

вестными).

Опр.

Числовыми называют такие неравенства, обе части ко-

торых есть числа, записанные цифрами.

Пример :

7 < 11 ; -1 > -4

Опр.

Неравенства, содержащие буквы, обозначающие

неизвестные числа, называются неравенствами с неизвестны-

ми.

Примеры : а)

>

-

неравенство с одним неизвестным

х.;

б)

<

-

неравенство с двумя неизвестными

х

и

у.

Опр.

Решить неравенство – значит найти все значения неиз-

вестной, при которых неравенство обращается в верное число-

вое.

При решении неравенств необходимо учитывать свойства :

Свойство 1: Члены неравенства можно переносит из одной ча-

сти неравенства в другую, изменяя их знаки на противополож-

ные

(при этом знак неравенства сохраняется)

.

Примеры : а)

-

2 >

3 б) 5+

≤ 1

> 3+2

≤ 1-5

> 5

≤ -4

Свойство 2: Если обе части неравенства умножить или

разделить на одно и то же положительное число, то знак

неравенства не изменится.

Примеры : а)

б)

в)

Свойство 3: Если обе части неравенства умножить или

разделить на одно и то же отрицательное число, то знак

неравенства изменится на противоположный.

Примеры : а)

б)

в)

30

В результате таких преобразований полученные неравенства

будут равносильны данным.

Формы записи числового промежутка

Запись с помощью не-

равенства

Геометрическое изоб-

ражение

Обозначение

х

х

х

х

х

х

х

х

31

§9 Линейные неравенства.

Опр.

Линейным неравенством называется неравенство

вида :

,

,

,

.

При решении неравенств используются их свойства.

Пример 1.

Решение :

(

свойство 1

)

(

свойство 2

)

Ответ :

Пример 2.

Решение :

(

свойство 1

)

(

свойство 2

)

Ответ :

Пример 3.

раскроим скобки в левой части

не-

равенства

приведем подобные слагаемые в

ле-

вой части неравенства

неравенство верно при любом

дей-

ствительном

, т.к.

Ответ :

Пример 4.

неравенство ложно при любом

дей-

ствительном

, т.к.

Ответ : нет решений.

Пример 5.

32

Ответ :

Пример 6.

Ответ :

Пример 7.

Ответ :

Упражнения.

Решите неравенство :

134.

Отв.

135.

Отв.

136.

Отв.

137.

Отв.

138.

Отв.

139.

Отв.

140.

Отв.

141.

Отв.

142.

Отв.

143.

Отв.

144.

Отв.

145.

Отв.

146.

Отв.

147.

Отв.

33

148.

Отв.

149.

Отв.

150.

Отв.

151.

Отв. нет решений.

152.

Отв.

153.

Отв. нет решений

154.

Отв.

155.

Отв.

156.

Отв.

157.

Отв.

§10 Система линейных неравенств.

Опр.

Система неравенств – это два или несколько нера-

венств имеющих общее решение.

Чтобы показать, что данные неравенства образуют систему,

их обычно записывают одно под другим и объединяют фи-

гурной скобкой.

Примеры : а)

б)

Опр.

Решение системы линейных неравенств – это значе-

ния переменной, которые одновременно удовлетворяют всем

неравенствам системы.

Чтобы решить систему двух или нескольких неравенств с

одним неизвестным, надо решить каждое из данных нера-

венств отдельно и взять общую часть множеств всех реше-

ний.

Пример 1.

Решаем отдельно каждое неравенство:

1)

2)

Итак, данная система неравенств равносильна системе :

На числовой прямой решение каждого неравенства покажем штриховкой

соответствующего числового промежутка

(

см. таблицу

) :

34

х

- решение первого неравенства

4

системы.

х

- решение второго неравенства

-1

системы.

Тогда решением данной системы будет являться пересечение заштрихован-

ных промежутков :

х

-1 4

Ответ:

Пример 2.

х

- 2 1/ 2

Ответ:

Пример 3.

х

- 2 1/ 2

Ответ:

Пример 4.

х

- 2 1/ 2

Ответ: нет решений.

Пример 5.

х

- 2 1/ 2

Ответ:

Упражнения.

Решите систему неравенств:

158.

Отв.

159.

Отв.

35

160.

Отв.

161.

Отв. нет решений.

162.

Отв.

163.

Отв.

164.

Отв.

165.

Отв.

166.

Отв.

167.

Отв. нет решений.

168.

Отв.

169.

Отв.

§11 Квадратное неравенство.

Опр.

Квадратным неравенством называется неравенство

вида :

,

,

.

Воспользуемся графическим способом решения неравенства. Ле-

вую часть неравенства рассмотрим как квадратичную функцию,

графикам которой является парабола. Решение неравенства сво-

дится к нахождению промежутков, на которых значения функ-

ции положительные или отрицательные (т.е. промежутков на ко-

торых ветви параболы расположены либо над осью Ох либо под

осью Ох).

Коэффициент

в квадратном неравенстве можно считать по-

ложительным ( в случае когда коэффициент отрицательный обе

части неравенства умножают на -1, изменив при этом знак не-

равенства ).

Примеры: а)

(умножим обе части неравенства на -

1)

б)

(умножим обе части неравенства на -

1)

36

20. Решение квадратного неравенства.

1)

Приравнять левую часть неравенства к нулю и решить

уравнение

2) На числовой оси отметить точки пересечения параболы

с осью Ох ( отметить корни уравнения )

3) Построить схематично параболу, учитывая знак дискри-

минанта ( см. таблицу )

4) Заштриховать на числовой оси промежутки, удовле-

творяющие условию данного неравенства

5)

Записать решение неравенства

Пример 1.

приравняем левую часть неравен-

ства к 0

решим квадратное уравнение

Построим схематично параболу , т.к.

,то парабола не имеет то-

чек пересечения с осью Ох (см. таблицу ).

Ветви параболы направлены

вверх, следовательно, квадратичная функция ,стоящая в левой части

неравенства принимает положительные

значения при любом действительном

.

Т.о. данное неравенство верно при любом

действительном

.

37

Ответ:

Пример 2.

Данное неравенство не имеет решений, т.к.

квадратичная функция, стоящая

в левой части, принимает только положительные значения

,

а это противо-

речит условию.

Ответ: нет решений.

Пример 3.

т.к. коэффициент при

отрицатель-

ный,

умножим обе части неравенства на -1 и

изменим знак неравенства

На числовой оси отметим найденные корни и

построим схематично параболу. Данному неравенству

будут удовлетворять те значения

при которых квадратичная функция, в

левой части неравенства, принимает положительные значения (т.е. это проме-

жутки на оси Ох, где ветви параболы расположены выше оси).

Заштрихуем эти промежутки.

Т.о. данное неравенство верно при

Ответ:

Пример 4.

38

Ответ:

Пример 5.

Данному неравенству удовлетворяют все действительные числа, кроме

.

Ответ:

Пример 6.

Ответ: нет решений.

Пример 7.

Ответ:

Пример 8.

Ответ:

Пример 9.

39

Ответ:

Упражнения.

Решите неравенство :

170.

Отв.

171.

Отв.

172.

Отв.

173.

Отв.

174.

Отв.

175.

Отв.

176.

Отв.

177.

Отв.

178.

Отв.

Литература.

1.

Учебный справочник школьника.− 4-е изд., стереотип.

−М.: Дрофа, 2002. − 1664с.

40

2.

Швецов К.И., Бевз Г.П. Справочник по элементарной

математике. Арифметика, алгебра. − Киев: Изд-во «Нау-

кова думка»,1966. − 415с.

3.

Кузнецова Л.В., Бунимович Е.А., Пигарев Б.П. Сбор-

ник заданий для проведения письменного экзамена по ал-

гебре за курс основной школы. 9 класс. − 9-е изд., стерео-

тип. −М.: Дрофа, 2004. − 192с.

Содержание.

Ι ДРОБИ……………………………………………………… 2

§1 Обыкновенные дроби ……………………………………… . 2

41

§2 Десятичные дроби …………………………………………… 3

§3 Действия с обыкновенными дробями ……………………... 4

1. Основное свойство дроби ………………………………………………

4

2. Сокращение дроби ………………………………………………………

4

3. Приведение дробей к общему знаменателю …………………………..

5

4. Сложение дробей ………………………………………………………..

5

5. Вычитание дробей ………………………………………………………

6

6. Умножение дробей ……………………………………………………...

7

7. Деление дробей…………………………………………………………..

8

8. Порядок выполнения действий………………………………………….

8

Упражнения.....................................................................................10

ΙΙ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ

………………. 10

§4 Одночлены и многочлены …………………………………... 10

9. Приведение подобных слагаемых

……………………………… 11

10. Раскрытие скобок

…………………………………………….. 11

11. Формулы сокращенного умножения

……………………………. 12

12. Разложение многочлена на множители

…………………………. 12

Упражнения……………………………………………………… 13

§5 Алгебраические дроби и действия над ними………………. 13

13. Сокращение алгебраических дробей

……………………………. 14

14. Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

……… 14

15. Сложение и вычитание алгебраических дробей…

……………… 15

16. Умножение и деление алгебраических дробей…

………………… 16

Упражнения……………………………………………………… 16

ΙΙΙ

УРАВНЕНИЯ…………………………………………… 18

§6 Уравнения первой степени………………………………….. 18

17. Простейшие линейные уравнения

………………………………. 19

Упражнения……………………………………………………… 19

18. Линейные уравнения……………………………………

…………… 20

Упражнения……………………………………………………… 22

§7 Квадратное уравнение………………………………………. 22

Упражнения …………………………………………………….. 24

19. Неполное квадратное уравнение………………………………………

24

Упражнения …………………………………………………….. 26

42

§8 Уравнения содержащие неизвестное в знаменателе……… 27

Упражнения………………………………………………………28

ΙV НЕРАВЕНСТВА………………………………………… 29

§9 Линейные неравенства………………………………………. 32

Упражнения……………………………………………………… 33

§10 Система линейных неравенств

……………………………………

34

Упражнения……………………………………………………… 35

§11 Квадратное неравенство……………………………………. 36

20. Решение квадратного неравенства

………………………………37

Упражнения……………………………………………………… 40

Литература……………………………………………………. 41

43

44