Автор: Маслова Ольга Алексеевна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: НИШ ХБН г Караганды
Населённый пункт: Караганда
Наименование материала: Статья
Тема: Равносильные переходы для решения показательных и логарифмических неравенств с переменным основанием
Раздел: полное образование
Равносильные переходы
для решения показательных и логарифмических неравенств
с переменным основанием
Понятие «равносильный переход» учениками часто используется на уровне
интуиции. Самое простое: перенос из одной части уравнения в другую,
умножение или деление обеих частей уравнения или неравенства на одно и
то же число – понятно, привычно и не вызывает сомнений. Отсутствие
«сомнений»
в
равносильности
преобразований
при
решении
иррациональных уравнений, неравенств, уравнений и неравенств с модулем
часто являются причинами, не позволяющими ученику справиться с
заданием. А вот как пользоваться равносильными переходами именно с
целью упрощения решения сложных заданий и, соответственно, экономии
времени?
1.
В логарифмических
неравенствах с переменным основанием
имеет место:
Знак
разности
log
a
(
x
)
f
(
x
)−
log
a
(
x
)
g
(
x
)
совпадает
со
знаком произведения
(
a
(
x
)−
1
)⋅(
f
(
x
)−
g
(
x
))
в ОДЗ.
Знак
log
a
(
x
)
f
(
x
)
совпадает
со
знаком
произведения
(
a
(
x
)−
1
)⋅(
f
(
x
)−
1
)
в ОДЗ.
[
1
]
Пример 1.
log
x
3 x
−
1
x
2
+
1
>
0
⇔
{
3 x
−
1
x
2
+
1
>
0
¿
{
x
>
0 , x
≠
1
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
, решив данную систему,
получим
x
∈
(
1
3
; 1
)∪(
1 ;2
)
Пример 2.
log
x
+
1
x
+
7
0 . 7
>
0
⇔
{
x
+
1
x
+
7
>
0
¿
{
x
+
1
x
+
7
≠
1
¿
¿ ¿¿
, решив
систему, получим
x
∈
(−
1 ;
∞)
.
2. В показательных неравенствах с переменным основанием имеет
место:
Знак разности
a
(
x
)
f
(
x
)
−
a
(
x
)
g
(
x
)
совпадает со знаком
произведения
(
a
(
x
)−
1
)⋅(
f
(
x
)−
g
(
x
))
в ОДЗ.
[
1
]
Пример 3.
(
x
−
2
)
x
2
−
5 x
≥(
x
−
2
)
−
6
.
В данном случае ученики вынуждены решать неравенство со сложной
экспонентой, которая не рассматривается в школьном курсе математики.
Главный вопрос, что является ОДЗ?
Функция вида
у
=
a
(
x
)
f
(
x
)
называется сложной экспонентой, областью
определения которой является множество Х, на котором
a
(
x
)>
0
, а
сама функция принимает только положительные значения.
[
1
]
Особенность в том, что эта функция не является ни показательной, ни
степенной.
Решение:
(
x
−
2
)
x
2
−
5 x
−(
x
−
2
)
−
6
≥
0
⇔
(
x
−
2
−
1
)⋅(
x
2
−
5 x
+
6
)≥
0
;
(
x
−
3
)
2
⋅(
x
−
2
)≥
0
, решаем методом интервалов,
учтем, что
х
−
2
>
0
, получим:
x
∈
(
2 ;
∞)
.
Стоит заметить, что применять эти условия равносильных переходов можно
при решении любых показательных и логарифмических неравенств.
Правила 1 и 2 позволяют избежать громоздких решений в виде
совокупности двух систем.
В таких случаях ученики часто путают
объединение и пересечение. Решив две системы, берут в ответ не
объединение промежутков, а пересечение.
Тренинг:
1.
log
x
−
6
¿
2.
x
2
−
log
2
2
x
−
2log
2
x
>
1
x
,
3.
log
x
3 x
−
1
x
2
+
1
>
0
,
4.
log
2 x
¿
,
5. log
x
¿
.
Литература:
1.
С.И.Колесникова
«Математика»,
серия
«Домашний
репетитор»,
«Айрис Пресс», Москва, 2008г.
2. Н.А.Ким Элективный курс «Неравенства через тернии к успеху»,
издательский дом «Корифей», Волгоград, 2007г