1

Тема занятия «Понятие о производной»

2

Часто нас интересует не значение какой-либо величины, а её

изменение.

Например, средняя скорость – это

отношение перемещения к промежутку времени, за которое было

совершено это перемещение.

•

Ответить на вопросы и записать формулы:

1.Что называется приращением аргумента? Как обозначается?

2.Что называется приращением функции? Как обозначается?

3.С помощью введённых обозначений приращений выразить среднюю

скорость движения за промежуток времени

4. Какое выражение называют средней скоростью изменения функции

на промежутке с концами

и

?

Приращение функции





t

t

t





0

0

;

x

x





0

0

x

Проверьте:

Проверьте:

•

1.Приращение аргумента –

•

2.Приращение функции –

•

3.Если точка движется по прямой и известна её

координата

, то

•

4.Средняя скорость изменения функции-

0

x

x

x















0

0

x

f

x

x

f

f























t

t

x

t

t

x

t

x

t

V

cp



















0

0





t

x









x

x

f

x

x

f

x

f















0

0

3

Оцените:

1 ЗАДАНИЕ

0,5 БАЛЛОВ

2 ЗАДАНИЕ

0,5 БАЛЛОВ

3 ЗАДАНИЕ

1 БАЛЛ

4 ЗАДАНИЕ

1 БАЛЛ

Максимальное количество баллов – 4(хорошо).

4

5

6

7

•

Какая из прямых – АВ или СD – касается кривой в точке М ?

•

Y

А

•

В

X

D

C





x

f

y



M

8

•

Рассмотрите графики различных функций и приведите примеры

«гладких» кривых и кривых, которые « не являются гладкими».

1

2

4

3

9

Выясним особенности устройства «гладкой» кривой.

Рассмотрим, как геометрически устроены такие кривые, на

конкретном примере – графике функции

при значениях x, близких к 1.

Для решения поставленной задачи:

1.Проанализировать таблицу значений функций f и g из домашней работы.

2.

Построить графики функций и

1)

Единичный отрезок – 1 тетрадная клетка.

2)

Единичный отрезок – 10 тетрадных клеток.

0,95

0,96

0,97

0,98

0,99

1

1,01

1,02

1,03

1,04

1,05

0,9025

0,9216

0,9409

0,9604

0,9801

1

1,0201

1,0404

1,0609

1,0816

1,1025

0,9

0,92

0,94

0,96

0,98

1

1,02

1,04

1,06

1,08

1,10





2

x

x

f







1

2





x

x

g

2

x

y



1

2





x

y

2

x

y



•

У

•

О

Х





2

x

x

f







1

2





x

x

g

Вывод ?

11

Производная

Производная

•

Определение. Производной функции в точке

называется число, к которому стремится разностное

отношение

•

при , стремящемся к нулю.

•

Схема вычисления производной.

•

1.С помощью формулы, задающей функцию , находим её

приращение в точке :

•

2.Находим выражение для разностного отношения

•

•

которое затем преобразуем – упрощаем, сокращаем на

•

f

0

x









x

x

f

x

x

f

x

f















0

0

x



f

0

x









0

0

x

f

x

x

f

f











x

f













x

x

f

x

x

f

x

f















0

0

x



12

•

3. Выясняем, к какому числу стремится , если считать,

•

что стремится к нулю.

•

Производная функции в точке обозначается

•

•

Функцию, имеющую производную в точке называют

дифференцируемой в этой точке.

•

Нахождение производной данной функции называется

дифференцированием.

•

Формулы дифференцирования:

x

f





x



f

0

x





0

/

x

f

0

x

f

















)

(

0

,

,

3

,

2

/

/

2

/

3

/

2

постоянная

ая

произвольн

С

С

k

b

kx

x

x

x

x













13

Проверочная работа

•

1. Указать, в каких точках знак углового коэффициента положительный?

•

2. Привести в соответствие функции и их производные:

•

1

1.

•

2.

2.

•

3.

3.

У

Х

а

в

с

е

d

f





2

x

x

f







3

x

x

f







b

kx

x

f









2

/

3x

x

f







k

x

f



/





x

x

f

2

/



14

Проверьте:

Проверьте:

•

1.

с, е.

2

1.

.

2.

3.





2

x

x

f







3

x

x

f







b

kx

x

f









2

/

3x

x

f







k

x

f



/





x

x

f

2

/



15

Задания для самостоятельной работы

•

•

1 группа

2 группа

3 группа

1.

Пользуясь

определеним

производной, найти

значение произ-

водной функции

в точке .

Пользуясь определеним

производной, найти

значение произ-

водной функции

в точке .

Пользуясь определеним

производной, найти

значение произ-

водной функции

в точке .

2.

Длина стержня

меняется в

зависимости от

температуры по

закону

Найти коэффициент

линейного расширения

при .

Найти мгновенную

скорость

точки, движущейся

прямолинейно по закону

в момент .

Количество

электричества,

протекающее

через проводник,

начиная с момента

задаётся формулой

Найти силу тока в

момент времени





2

x

x

f



1

0





х





3

x

x

f



1

0





х

1

0





х

2

0

0001

,

0

001

,

0

t

t

l

l







C

t

0

5







2

3

2





t

t

x

2

0



t

0



t

.

2

3

2







t

t

q

.

3



t





b

kx

x

f





оценка

16

5

4

Проверочная работа

№ Задания

1 вариант

2 вариант

Оценка

1

Используя формулы дифференцирования, найти

производную

функции

в точке ,если:

3

2

Пользуясь определением производной, найти

значение производной функции

в точке ,если:

4

3

Найти мгновенную скорость точки, движущейся

прямолинейно по закону , в момент :

5

17

f

0

x





3

,

2

0

2







х

x

x

f

f

0

x





3

,

2

0

2









x

x

x

f





3

,

2

0

2







х

x

x

f





t

x

0

t





8

,

2

5

0







t

t

t

x





10

,

3

7

0







t

t

t

x





3

,

2

0

2









x

x

x

f

Домашнее задание.

•

Алгебра и начала математического анализа. 10-11

классы: учебник для общеобразовательных

учреждений/(А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П.

Дудницын и др.); под редакцией А.Н.Колмогорова. – М;

Просвещение, 2009.

•

Глава 1, & 4, п. 13, № 193(г), № 194(г)

•

Построить график функции

{

18







x

f

.

1

,

1

,

1

,

2





x

x

x

x

